|
Название: Квадраты и кубы Отправлено: fortpost от Январь 14, 2012, 01:22:05 В каких случаях сумма квадратов двух чисел может быть точно равной сумме кубов тех же чисел? a2+b2=a3+b3
Ясно, что — нет, если а и b — натуральные числа (не оба равные единице). Если же допустить, что а и b дробные, то можете поискать их? Какую технологию изготовления таких дробей избрали бы вы? Название: Re: Квадраты и кубы Отправлено: семеныч от Январь 14, 2012, 11:08:15 где-то было у Кордемского :)
было давненько и у нас :-[ Название: Re: Квадраты и кубы Отправлено: Sirion от Январь 14, 2012, 12:50:00 Это скучная задача. Как насчёт a2+b2+c2=a3+b3+c3=a4+b4+c4?
Название: Re: Квадраты и кубы Отправлено: семеныч от Январь 14, 2012, 12:53:40 82+52+32=72+72
84+54+34=74+74 блин - не то :-[ Название: Re: Квадраты и кубы Отправлено: moonlight от Январь 14, 2012, 20:06:47 В каких случаях сумма квадратов двух чисел может быть точно равной сумме кубов тех же чисел? a2+b2=a3+b3 b=ca a2+(ca)2=a3+(ca)3 a=(1+c2)/(1+c3) b=c(1+c2)/(1+c3) Название: Re: Квадраты и кубы Отправлено: iPhonograph от Январь 14, 2012, 20:40:19 В каких случаях сумма квадратов двух чисел может быть точно равной сумме кубов тех же чисел? a2+b2=a3+b3 Кроме тривиальных случаев, когда a,b ∈ {0,1}, других рациональных решений нет.Ясно, что — нет, если а и b — натуральные числа (не оба равные единице). Если же допустить, что а и b дробные, то можете поискать их? Какую технологию изготовления таких дробей избрали бы вы? Название: Re: Квадраты и кубы Отправлено: Sirion от Январь 14, 2012, 20:49:47 Кроме тривиальных случаев, когда a,b ∈ {0,1}, других рациональных решений нет. 5/9 и 10/9 Название: Re: Квадраты и кубы Отправлено: Sirion от Январь 14, 2012, 20:56:44 а вот интересный вопрос: какое наибольшее значение может принимать эта сумма квадратов/кубов?
Название: Re: Квадраты и кубы Отправлено: iPhonograph от Январь 14, 2012, 20:57:02 вот блин
рассмотрел случай взаимно простых числителей и успокоился... Название: Re: Квадраты и кубы Отправлено: Sirion от Январь 14, 2012, 21:00:31 хех)
вообще, я (и, вероятно, автор) исходил из следующих соображений: возьмём какие-нибудь два числа. Пусть сумма их кубов превосходит сумму их квадратов в k раз. Делим оба числа на k, получаем решение. для противоположных чисел, правда, метод работает не очень хорошо Название: Re: Квадраты и кубы Отправлено: iPhonograph от Январь 14, 2012, 21:09:14 а вот интересный вопрос: какое наибольшее значение может принимать эта сумма квадратов/кубов? дваНазвание: Re: Квадраты и кубы Отправлено: fortpost от Январь 14, 2012, 22:05:55 В каких случаях сумма квадратов двух чисел может быть точно равной сумме кубов тех же чисел? a2+b2=a3+b3 b=ca a2+(ca)2=a3+(ca)3 a=(1+c2)/(1+c3) b=c(1+c2)/(1+c3) Так оно и есть! Название: Re: Квадраты и кубы Отправлено: Sirion от Январь 14, 2012, 22:44:40 а вот интересный вопрос: какое наибольшее значение может принимать эта сумма квадратов/кубов? два-5/7 и 10/7, например Название: Re: Квадраты и кубы Отправлено: семеныч от Январь 15, 2012, 12:44:13 Это скучная задача. Как насчёт a2+b2+c2=a3+b3+c3=a4+b4+c4? а тут ответик бы Название: Re: Квадраты и кубы Отправлено: Sirion от Январь 15, 2012, 13:14:03 Это скучная задача. Как насчёт a2+b2+c2=a3+b3+c3=a4+b4+c4? а тут ответик бы Название: Re: Квадраты и кубы Отправлено: iPhonograph от Январь 15, 2012, 14:19:42 Это скучная задача. Как насчёт a2+b2+c2=a3+b3+c3=a4+b4+c4? а тут ответик быИз уравнения следует: (a2+b2+c2)(a4+b4+c4)=(a3+b3+c3)2 раскрываем скобки и группируем: a2b2(a-b)2+a2c2(a-c)2+b2c2(b-c)2=0 Если среди чисел a,b,c нет нулей, то они все равны друг другу, т.е., a=b=c=1 Если c=0, то сводим к аналогичной задаче для двух переменных. Итого: 8 решений - произвольные наборы чисел a,b,c ∈ {0,1} Название: Re: Квадраты и кубы Отправлено: operaphantom от Январь 17, 2012, 00:48:50 Не знаю насколько я буду близок к ответу или прав, но может быть так?
a2+b2=a3+b3 a2+2ab+b2-2ab=a3+3a2b+3ab2+b3-3a2b-3ab2 (a+b)3-(a+b)2-3ab(a+b)+2ab=0 t=a+b t3-t2-3abt+2ab=0 И попытаться из этого выудить нужные нам решения =) |