|
Название: Том и свинья Отправлено: fortpost от Сентябрь 20, 2012, 20:19:28 Том решил украсть свинью. Когда он побежал за свиньей, то находился в 250 ярдах к югу от нее. И свинья, и Том побежали одновременно с постоянными скоростями. Свинья бежит в восточном направлении. Том бежит так, что в каждый момент движется точно на свинью. Предположим, что Том бежит в 4/3 раза быстрее, чем свинья. Тогда скажите, как далеко убежала свинья, прежде чем ее удалось схватить?
Название: Re: Том и свинья Отправлено: Michael от Сентябрь 21, 2012, 05:11:27 Название: Re: Том и свинья Отправлено: fortpost от Сентябрь 21, 2012, 07:07:38 Название: Re: Том и свинья Отправлено: mayer от Сентябрь 21, 2012, 08:38:42 Название: Re: Том и свинья Отправлено: fortpost от Сентябрь 21, 2012, 08:44:39 И это не столько.
Название: Re: Том и свинья Отправлено: Муслим от Сентябрь 21, 2012, 10:28:15 Название: Re: Том и свинья Отправлено: fortpost от Сентябрь 21, 2012, 10:33:53 А можно свинью на северный полюс поставить, а Тома восточней? А зачем оно так? ???Название: Re: Том и свинья Отправлено: Michael от Сентябрь 21, 2012, 11:12:01 Название: Re: Том и свинья Отправлено: fortpost от Сентябрь 21, 2012, 11:20:17 Но ведь свинья не стоит на месте. И пока Том за ней гонится, успеет переместиться на какое-то расстояние. Значит, Тому придется пробежать 250 ярдов плюс расстояние, пройденное свиньей.
Название: Re: Том и свинья Отправлено: Michael от Сентябрь 21, 2012, 11:29:52 187,5 неправильно, но с "250 ярдов плюс расстояние, пройденное свиньей" я не согласен. Если б так, было бы просто. Геометрическая прогрессия 250*3/4 + 250*9/16 + ... и т.д. Но нас интересует не всё расстояние пройденное свиньёй, а только насколько она удалилась от Тома , а это разные вещи.
Название: Re: Том и свинья Отправлено: Michael от Сентябрь 21, 2012, 11:43:59 А можно свинью на северный полюс поставить, а Тома восточней? "восточней от северного полюса" только сам Северный полюс. То есть поставить Тома на свинью? Оригинально. Название: Re: Том и свинья Отправлено: fortpost от Сентябрь 21, 2012, 12:17:02 187,5 неправильно, но с "250 ярдов плюс расстояние, пройденное свиньей" я не согласен. Если б так, было бы просто. Геометрическая прогрессия 250*3/4 + 250*9/16 + ... и т.д. Но нас интересует не всё расстояние пройденное свиньёй, а только насколько она удалилась от Тома , а это разные вещи. Да, конечно, промашка вышла. Все и в самом деле не так просто.Название: Re: Том и свинья Отправлено: moonlight от Сентябрь 21, 2012, 14:42:26 доказательство ещё не придумал, но экспериментально получается так:
если начальное расстояние s и отношение скоростей k то :pig: пробежит Показать скрытый текст Название: Re: Том и свинья Отправлено: fortpost от Сентябрь 21, 2012, 17:28:30 доказательство ещё не придумал, но экспериментально получается так: Да, так и выходит! :good2:если начальное расстояние s и отношение скоростей k то :pig: пробежит Показать скрытый текст Название: Re: Том и свинья Отправлено: iPhonograph от Сентябрь 22, 2012, 15:22:24 доказательство ещё не придумал, но экспериментально получается так: Как это было получено? вычислительными методами?если начальное расстояние s и отношение скоростей k то :pig: пробежит Показать скрытый текст а как потом была восстановлена формула? теперь, зная ответ, можно подогнать под него решение :) пусть t - время, L - расстояние, фи - угол между векторами скоростей тогда получается система (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\fn_phv%20\frac{dL}{dt}=-k+cos\phi,\%20\frac{d\phi}{dt}=\frac{-sin\phi}{L}) благодаря moonlight мы знаем, что должен получиться ответ, пропорциональный начальному расстоянию, что позволяет нам "угадать" инвариант (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\fn_phv%20t+\frac{L\cdot%28k+cos\phi%29}{k^2-1}) приравниваем значение инварианта в начале пути (при L=s, t=0, фи=пи/2) значению в конце пути (L=0, t=T) и находим T = время погони было бы интересно посмотреть решение этой задачи школьными методами Название: Re: Том и свинья Отправлено: moonlight от Сентябрь 22, 2012, 20:16:42 Да, решал я численно именно эту систему ДУ. Формулу можно было легко угадать т.к. при рациональных k получались рациональные T.
Название: Re: Том и свинья Отправлено: Муслим от Сентябрь 23, 2012, 02:01:52 Ребят. Том бежит по гиперболе?
Да/нет. Название: Re: Том и свинья Отправлено: fortpost от Сентябрь 23, 2012, 12:26:31 Ребят. Том бежит по гиперболе? Нет, не по гиперболе. Это так называемая кривая погони.Да/нет. http://pusk.by/bse/121451/ Название: Re: Том и свинья Отправлено: iPhonograph от Сентябрь 23, 2012, 12:38:31 аффторское решение - в студию!
Название: Re: Том и свинья Отправлено: fortpost от Сентябрь 23, 2012, 13:48:58 Авторское решение такое. Но как автор его нашел, неизвестно.
Показать скрытый текст Название: Re: Том и свинья Отправлено: iPhonograph от Сентябрь 23, 2012, 14:11:39 да, загадочное решение )))
рассуждения в стиле семёныча: берём дробь 64/16, сокращаем шестёрку, получаем правильный ответ ) Название: Re: Том и свинья Отправлено: moonlight от Сентябрь 23, 2012, 19:58:12 авторское решение прямо следует из ответа :laugh:
sk/(k2-1)=[s/(k+1)+s/(k-1)]/2. Название: Re: Том и свинья Отправлено: iPhonograph от Сентябрь 24, 2012, 10:35:26 Нашёл оригинал задачки.
Автор (Сэм Лойд) не утверждал, что есть простое решение, в задаче спрашивалось лишь дать приблизительную оценку и обосновать её здравым смыслом ) (http://imageshack.us/a/img411/7541/tomandpig.png) Название: Re: Том и свинья Отправлено: moonlight от Сентябрь 25, 2012, 20:40:18 вот ещё один вариант решения
(http://i052.radikal.ru/1209/88/06a369765b08.png) (http://www.radikal.ru) диф.уравнение sqrt(1+y'2)=kz' z=y+(s-x)y' z'=(s-x)y'' sqrt(1+y'2)=(s-x)y'' y(0)=y'(0)=0 делаем подстановку y'=sinh(w) и после двух интегрирований получаем (http://s018.radikal.ru/i503/1209/28/c3af385be91f.png) (http://www.radikal.ru) Название: Re: Том и свинья Отправлено: Michael от Октябрь 04, 2012, 05:04:42 Давайте попробуем оценить искомое расстояние x без дифференциальных уравнений
(в рамках элементарной математики, как предлагал Сэм Ллойд). 1) Найти a, такое, что x меньше a 2) Найти b, такое, что x больше b Название: Re: Том и свинья Отправлено: Michael от Октябрь 04, 2012, 21:41:40 Давайте попробуем оценить искомое расстояние x без дифференциальных уравнений 1) Например, х < 750. Но как это строго доказать?(в рамках элементарной математики, как предлагал Сэм Ллойд). 1) Найти a, такое, что x меньше a 2) Найти b, такое, что x больше b 2) Могу доказать что х > 283.4733. А улучшить результат пока не получается. Название: Re: Том и свинья Отправлено: iPhonograph от Ноябрь 26, 2012, 15:08:08 нашёл на одном форуме совсем простое решение этой задачки
пусть s = начальное расстояние, 1 = скорость свиньи, k = скорость тома, t = время, фи(t) = угол между скоростями, T = конечное время. во-первых, расстояние между томом и свиньёй убывает со скоростью k-cos(фи(t)), откуда (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\fn_phv%20\int_0^T(k-\cos\phi(t))dt=s) во-вторых, проекция скорости тома на прямую свиньи равна k*cos(фи(t)), откуда (http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\fn_phv%20\int_0^T%20k\cdot\cos\phi(t)dt=T) теперь заметим, что от интеграла от косинуса можно избавиться :) Название: Re: Том и свинья Отправлено: ☭-Изделие 20Д от Декабрь 12, 2012, 18:13:31 Могу предложить ещё один из вариантов нахождения ответа:
Так называемый "МЕТОД ТРЕХТОЧКИ" используется для наведения на цель зенитной ракеты ПВО (http://i2.guns.ru/forums/icons/forum_pictures/005769/thm/5769185.png) Звучит это как-то так - Кинематическая траектория по методу наведения трехточки :wall: Вот только для человека и кабана подобные картинки подозреваю, что идут под грифом TOP SECRET найти по крайней мере не удалось :girlcry: |