Том и свинья

[fortpost]

Том решил украсть свинью. Когда он побежал за свиньей, то находился в 250 ярдах к югу от нее. И свинья, и Том побежали одновременно с постоянными скоростями. Свинья бежит в восточном направлении. Том бежит так, что в каждый момент движется точно на свинью. Предположим, что Том бежит в 4/3 раза быстрее, чем свинья. Тогда скажите, как далеко убежала свинья, прежде чем ее удалось схватить?

[Michael]

Показать скрытый текст

187,5 ярдов

[fortpost]

Показать скрытый текст

187,5 ярдов

Не, не столько.

[mayer]

Показать скрытый текст

333.333 ярда

[fortpost]

Показать скрытый текст

333.333 ярда

И это не столько.

[Муслим]

А можно свинью на северный полюс поставить, а Тома восточней?

Показать скрытый текст

Замерзшая хрюшка, увидив палатку Тома и утопая по брюхо в глубоком снегу, двигалась на восток. Навстречу ей, скрытно (в маскхалате, используя складки местности) со скоростью 4м/мин. полз Том. Через 3,5 минуты, довольно похрюкивая, свинюшка уже грелась в ласковом огоньке паяльной лампы.

[fortpost]

А можно свинью на северный полюс поставить, а Тома восточней?

А зачем оно так?

[Michael]

Показать скрытый текст

Я рассуждал так. Том "в каждый момент движется точно на свинью", значит от старта до финиша он пробежит 250 ярдов. Свинья за это время пробежит 3/4 * 250 = 187.5 ярдов.

[fortpost]

Показать скрытый текст

Я рассуждал так. Том "в каждый момент движется точно на свинью", значит от старта до финиша он пробежит 250 ярдов. Свинья за это время пробежит 3/4 * 250 = 187.5 ярдов.

Но ведь свинья не стоит на месте. И пока Том за ней гонится, успеет переместиться на какое-то расстояние. Значит, Тому придется пробежать 250 ярдов плюс расстояние, пройденное свиньей.

[Michael]

187,5 неправильно, но с "250 ярдов плюс расстояние, пройденное свиньей" я не согласен. Если б так, было бы просто. Геометрическая прогрессия 250*3/4 + 250*9/16 + ... и т.д.  Но нас интересует не всё расстояние пройденное свиньёй, а только насколько она удалилась от Тома , а это разные вещи.

[Michael]

А можно свинью на северный полюс поставить, а Тома восточней?

"восточней от северного полюса"  только сам Северный полюс. То есть поставить Тома на свинью? Оригинально.

[fortpost]

187,5 неправильно, но с "250 ярдов плюс расстояние, пройденное свиньей" я не согласен. Если б так, было бы просто. Геометрическая прогрессия 250*3/4 + 250*9/16 + ... и т.д.  Но нас интересует не всё расстояние пройденное свиньёй, а только насколько она удалилась от Тома , а это разные вещи.

Да, конечно, промашка вышла. Все и в самом деле не так просто.

[moonlight]

доказательство ещё не придумал, но экспериментально получается так:
если начальное расстояние s и отношение скоростей k то  пробежит
Показать скрытый текст

sk/(k²-1)

[fortpost]

доказательство ещё не придумал, но экспериментально получается так:
если начальное расстояние s и отношение скоростей k то  пробежит
Показать скрытый текст

sk/(k²-1)

Да, так и выходит!

[iPhonograph]

доказательство ещё не придумал, но экспериментально получается так:
если начальное расстояние s и отношение скоростей k то  пробежит
Показать скрытый текст

sk/(k²-1)

Как это было получено?  вычислительными методами?
а как потом была восстановлена формула?

теперь, зная ответ, можно подогнать под него решение
пусть
t - время,
L - расстояние,
фи - угол между векторами скоростей
тогда получается система

благодаря moonlight мы знаем, что должен получиться ответ, пропорциональный начальному расстоянию, что позволяет нам "угадать" инвариант

приравниваем значение инварианта в начале пути (при L=s, t=0, фи=пи/2) значению в конце пути (L=0, t=T) и находим T = время погони

было бы интересно посмотреть решение этой задачи школьными методами