Форум умных людей

достаточно 2- х монет.
вес монеты Х.
А>B
Х+А
2X+А = 2(X+1/2А)
Х+А - (X+1/2А )= 1/2 А

4 монеты и 4 взвешивания (первое взвеш. - одна монета; второе - две и т д). По разнице между последующими взвешиваниями определяется вес монеты 

Покажем, что трёх монет недостаточно. У нас есть три переменных - масса монетки m и погрешности a, b. Принимая концепцию "хитрых весов", считаем, что для одного и того же количества монет на весах результат всегда один и тот же. Пусть взвешивание одной монеты даёт три условных единицы массы (то есть 3 - далее единицы массы опускаем), двух - 5, трёх - 6.
Предположим, что погрешности были a, b, b соответственно. Тогда m = 6 - 5 = 1, a  = 2, b = 3.
Теперь предположим, что погрешности были b, b, a. Тогда m = 5 - 3 = 2, a = 1, b = 2. То есть имея одни и те же результаты измерений, мы можем получить две разных массы. Это значит, что нам нужно хотя бы четыре монеты. Уверен, что их хватит, но конкретное решение искать лень.

Сделать четыре взвешивания: 1, 2, 4, 8 монет(пусть получилось n1, n2, n4 и n8 грамм). Затем найти вес монеты без учета ошибки весов, т.е.
n2-n1
(n4-n1)/3
(n8-n1)/7 и тд..
 Получится шесть чисел, в парах где ошибки совпадали будет истинное значение веса монеты(минимум два совпадения) остальные результаты будут разными, например, на
А-В
(А-В)/3
(А-В)/7
 

  5 монет
 Допустим:   a>b   и   a-b=с
 После 5-ти взвешиваний 5-ти монет (1-ое взвеш - одна монета; второе - две и т д) имеем цепочку из 4-ех чисел разностей весов последовательных взвешиваний вида:  1. (х) 2. (х+с) 3. (х-с)
 Числа 2. (х+с) и 3. (х-с)  повторяться дважды и более раз подряд не могут, поэтому, если есть повторение подряд, то это (х), но "умные" весы нам этого и не дадут.
 Далее ищем в цепочке все три числа - если есть, то сложим и делим на 3 и получим (х), но и этого нам весы не дадут.

Из этого видим, что 4 ех монет недостаточно для определения (х)

Четвертое число пятой монеты позволяет сразу определить (х)
Например:
((х+с) + (х-с) + (х+с) + (х-с) )/4 = х   
(х+с)   ((х-с) + (х+с) + (х))/3 = х (при наличии 3-ех разных подряд - 4-ое игнорируем)

(х)  (х+с)  ((х) + (х))/2 = х (повторяется только х)
(х) ((х+с) + (х) + (х-с))/3 = х (см выше для трех разных)
 
 

Взвесим одну, две, …, шесть монет. Получим результаты s₁, …, s₆. При этом каждое s_n равно nX+A (назовем такие s_n белыми) либо nX+B (назовем такие s_n черными), где X — вес монеты. Положим s_nm = (s_n–s_m)/(n–m), где 1 ≤ m < n ≤ 6. Для одноцветных s_n и s_m s_nm = X, для разноцветных — X+(B–A)/(n–m) или X+(A–B)/(n–m). Перебором нетрудно показать, что пар одноцветных s_n и s_m не меньше шести, то есть среди чисел s_nm есть по крайней мере 6 одинаковых. Заметим, что все числа (B–A)/5, …, (B–A)/1, (A–B)/1, …, (A–B)/5 различны, а встречаться среди s_nm числа (B–A)/k и (A–B)/k могут в совокупности не более 6–k раз. Поэтому вес монеты — это число, которое чаще всех встречается среди s_nm.
Замечание. Как видим, достаточно шести монет. Немного усовершенствовав рассуждение, можно показать, что хватит и пяти. Четырех монет, судя по всему, мало.