Форум умных людей

Имеется простенькое уравнение
x^xxx...=2


Оно имеет простое решение
x^xxx...lnx=ln2


2lnx=ln2
lnx²=ln2
x²=2
x=√2
Подставив это значение в исходное уравнение, убеждаемся, что оно является его корнем.

Берем другое простенькое уравнение
x^xxx...=3


Решаем его аналогичным способом
x^xxx...lnx=ln3


3lnx=ln3
lnx³=ln3
x³=3
x=³√3
Подставив это значение в исходное уравнение, убеждаемся, что оно не является его корнем.

В чем же тут дело?

(http://s45.radikal.ru/i109/1404/19/c8bd3fdecea6.jpg)

Может В том, что 2 < e. А 3 > e

это значит, что корней нет.
в чём задачка-то?

Изделие, эти хмыри похоже в степень возводят слева направо, а не справа налево. Потому надобно ишшо скобки ставить.

Да вроде как не в этом.

Та вроде все-таки есть. На графике оно хорошо видно. Но почему для 2 подстановка проходит, а для 3 нет?

если левую часть уравнения понимать в обычном смысле (как предел последовательности x, x^x, x^xx, x^xxx, ...), то корней нет.
или вы можете предъявить корень?
ждём-с )

Это намек на евреев или арабов ???

Рассмотрим последовательность уравнений x=3, x^x=3, x^xx=3, x^xxx=3, ...
Ей соответствует последовательность корней 3, 1.825, 1.632, 1.560, ...
Предел этой последовательности равен 3^1/3.
Он и есть корень исходного уравнения.

Ну дык евреи ж все программы делают. :crazy:

А кто вам сказал, что предел последовательности решений для последовательности функций f_n(x)равен решению для для предела последовательностей функций. Это может быть верно для непрерывных функций. А f(x) похоже не является непрерывной. Скорее всего начиная с какого-то x она уходит в бесконечность

Проблема в том, что вы делаете безосновательные переходы от одной задачи к другой.

Исходная задача была следующая:
Дана некоторая функция f(x), которая на каждом x определяется как предел последовательности x_n, где x_1 = x, а x_{n+1} = x^(x_n)
Найти при каких x_0 f(x_0) = 3.Тоесть найти x_0, при котором предел последовательности x_n (x_1 = x_0 ,..., x_{n+1} = (x_0)^(x_n))  равен 3

Вторая задача:
Дана последовательность уравнений x^x^x^...^x (n раз) =3 и соответственно последовательность их решений, которые естественно существуют в идеальном вещественном мире, x_n. Найти передел x_n.

Так вот вы почемуто отождествляете эти задачи. В первой решений нет. Во второй решение есть.

чуть к размышлению, а то это уже не из математики, а из языка лн и лн с обоих сторон сокращаем и получаем ха равно трехгранному корню ???
(http://s019.radikal.ru/i632/1404/1d/cdc4fc0a489c.jpg)
Показать скрытый текст

Кстати. Если попробовать найти корень для 4. То получится x = 4^(1/4) = 2^(1/2). А это ничто иное как корень для 2.

Таким образом, скорее всего, и для n=3 существует вещественно t<>3, такое что t^(1/t) = 3^(1/3), которое является корнем x^x^x^.... = t
Тоесть 3^(1/3) является корнем уравнения x^x^x^.... = t, а не для x^x^x^.... = t.

Эта ваша мысль не совсеи понятна. Особенно последняя строчка.

У уравнения t^(1/t) = 3^(1/3) существуют 2 корня, так как функция f(t) = t^(1/t) на отрезке от 1 до бесконечности сначала возрастает до точки e, потом убывает.

То есть существует 1 < t0 < e, такое что.  t0^(1/t0) = 3^(1/3).

Теперь рассмотрим два уравнения

x^x^x^.... = 3      и      x^x^x^.... = t0
первое, если и имеет корень, то только 3^(1/3)
второе. если и имеет корень,  то только t0^(1/t0)

Но это одно и тоже число. Следовательно наша функция от одного и тогоже числа не может быть равна одновременно и 3 и t0. Так вот, скорее всего, f(3^(1/3)) = t0 (коль вы сказали, что при подстановке равенства не получается).

Итак, дадим полностью обоснованный ответ.

У нас есть уравнение:

...(((x)^x)^x)^x)^...  =3
Если и есть у этого уравнение корень, то это корень уравнения x^3 = 3. То есть x = 3^(1/3).

Рассмотрим функцию g(t) = t^(1/t). На промежутке [1,\infty) данная функция возрастает до точки e, а далее убывает. g(1) = 1. lim_{t->\infty} g(t) = 1
Поэтому существует 1<t0<e, такое что t0^(1/t0) = 3^(1/3)

Для уравнения
...(((x)^x)^x)^x)^...  = t0
Если и есть корень, то это t0^(1/t0).

По математической индукци можно доказать, что для функци f(x) = x^x^x^x^....
f(3^(1/3)) <=3
Аналогично
f(t0^(1/t0)) <=t0

Но так как 3^(1/3) и t0^(1/t0) это одно и тоже число, то получаем, что
f(3^(1/3)) <=t0 <3

Тоесть число 3^(1/3) не является корнем уравнения

x^x^x^... = 3
А следовательно у этого уравнения вообще нет корней.

Так же заметим, что,аналогично, корней нет и у уравнений
x^x^x^x^.... = t, где t>e
Поэтому функция f(x) = x^x^x^x^.... на промежетке (e^(1/e),\infty) равна бесконечности

А последовательность корней уравнений x = 3; x^x = 3; x^x^x = 3; .... (о которой вы писали выше) стремится к наибольшему определенному аргументу функции. Тоесть к e^(1/e), которое нивкоем случае не корень уравнения x^x^x^x^... = 3.

(http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f3/Infinite_power_tower.svg/561px-Infinite_power_tower.svg.png)

а ещё интересную вещь пишут, что математике неизвестно, является ли число pi^pipipi целым или нет  ))  вроде бы получить ответ просто - нужно вычислить это число приближённо с точностью, например +-0.1 - думаю, будет достаточно

x^x^x^x^x...=2
x=1.414                                   Это-НЕПРАВИЛЬНО
Я подставил и получилась бесконечность.
 Мне кажется, что ответ- 2*е/бесконечность
 :question: :question: :ogo:

(http://s019.radikal.ru/i633/1404/53/daa10824e643.jpg)
(http://i031.radikal.ru/1404/ef/dd10f1b3f583.jpg)
(http://s019.radikal.ru/i601/1404/9d/f233da03f715.jpg)