Логические задачи
      NazVa.net

для семизначных с двумя слагаемыми:
[1, 2, 5, 0, 0, 0, 8]
[2, 8, 5, 7, 1, 4, 4]
[3, 2, 1, 4, 2, 8, 8]
[4, 2, 1, 0, 5, 2, 8]
[6, 7, 9, 2, 4, 5, 3]
[6, 5, 4, 5, 4, 5, 5]

с восмью:
[1, 2, 5, 0, 0, 0, 0, 8]
[3, 4, 6, 1, 5, 3, 8, 6]
[4, 7, 0, 5, 8, 8, 2, 4]
[8, 7, 6, 7, 1, 2, 3, 3]

по всей видимости последовательность вида
1250...08 всегда будет удовлетворять условию.

также
3442
6550

хм...что-то сразу не придумывается. Так на вскидку.

Рассмотри для простоты трёхзначные числа, типа 6*55 + 65*6 = 655

по сути надо найти натуральные x, y, z такие что

x*(10*y+z) + (10*x+y)*z = 100*x + 10*y + z

из этого выражаем z:

                10x + y - xy
z = 10 * --------------------
                11x + y - 1

т.е. надо найти такие натуральные x, y, что z тоже будет натуральным.

Задача упрощается, так как область значения x,y,z мала. какждый из них из [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9] и ещё x > 0.

легко написать программу, которая всё это дело перебирает. Сложность O(10^(n-1)), где n количество цифр.

если только аналитически, то надо суметь решить диафантово уравнение выше. Не знаю как. Для большезначных чисел наверное ещё сложнее.

запустив программу видно, что в трёхзначном случае. будет только одна тройка

(6,5,5)

в четырёхзначном две:

(1, 2, 5, 8 )
(6, 2, 0, 8 )

в пятизначном четыре:

(1, 2, 5, 0, 8 )
(4, 5, 7, 1, 5)
(6, 5, 4, 5, 5)
(7, 5, 3, 8, 5)

и чтоб не подумалось, что в шестизначном случае 8 комбинаций скажу, что их всего две:
(1, 2, 5, 0, 0, 8 )
(2, 3, 5, 2, 9, 7)

хм....
для заданных a, b

a -  x          a      x
-------  =   ---- - ---   
b + y          b     y

выполняется, если x = a1*b1*n^2, y = b1*n  при n != 0, -1,  где
a1 = a/НОД(a, b^2),
b1 = b^2/НОД(a, b^2)
если НОД(a, b) = 1 или a != k^2 для некоторого натурального k.

в случае, если НОД(a, b) > 1 и a является полным квадратом, решением будет
x = a1*n^2
y = b2*n, где b2 = sqrt(b1)

и осталось a = 0. В этом случае, x = 0, y !=0.

в Вашем примере  НОД(121, 55^2) = 121, значит  a1 = 1, b2 = 5, т.е. x = n^2, y = 5*n

Например,

121 -   4           121       4
------------- = ------ - -------
 55 +  10            55       10

типа так.

8 - 2x^2         8         2x^2
-----------  =   ---   -   --------     для всех x \not= -2,0
  2 + x            2            x