Логические задачи
      NazVa.net

Решить систему уравнений: x²+y²=z², xy+xz+yz+xyz=p₁, x⁴y⁴+x⁴z⁴+y⁴z⁴+x⁴y⁴z⁴=p₂.
Первое уравнение имеет бесконечное число решений, для второго мы нашли в предыдущей задаче 11 решений. Для третьего уравнения я нашел треугольник 143²+24²=145²,где p₂ простое,  но p₁=7*5041.
Предлагаю такой план решения:
1) Попытаться найти еще p₂;
2) найти хотя бы еще одно решение системы;
3) Доказать, что система имеет единственное решение (3,4,5,107,13191361).
Если решим, то будет повод, уверяю вас, чокаться.

Спасибо за примеры. Поспешил с предположением. В качестве знакомства. Числами Ферма занимаюсь давно. Есть промежуточный результат: расположил их на плоскости подобно скатерти Улама, написал девять строк начала алгоритма получения простых чисел Ферма и делителей составных. Например, (17²+5²+3+2²+2²+1²+1²)2-5²=641. Главное. Число 1 простое, а не считают его из-за двойственности. Это факт не требующий определения. Не существует двух одинаковых людей, двух одинаковых яблок, двух одинаковых капель. А в числовых закономерностях две одинаковые единицы могут быть.

По той же закономерности я пропустил еще один треугольник 27²+364²=365², что дает 9828+9855+132860+3587220=3739763 - простое. А то, что простых чисел Ферма не пять , а семь: 1,2,3,5,17,257,65537. Как и здесь без египетского треугольника. Поэтому и предлагаю пошарить.

Запишем формулу ab+ac+bc+abc=P, где a²+b²=c². Формула верна для семи треугольников 3²+4²=5², 5²+12²=13², 15²+8²=17², 17²+144²=145², 21²+20²=29², 29²+420²=421², 255²+32²=257². Кто не согласен, поищите хотя бы одно простое число. Я проверил два десятка треугольников.

  -4/2 - целое, а число Пи/3 иррациональное.

Важно заметить  p#=n(n=1), например, 7#=1*2*3*5*7=210=14*15. На примере 12²+5²=13² плохо заметно.

Самое главное в этой закономерности то, что  p#=n(n+1), например, 7#=1*2*3*5*7=210=14*15. На примере
12₂+5₂=13₂ не так заметно.

Как в известном анекдоте о Марь Ивановне: рассуждаете логично, но ошибаетесь. Показываю более подробно на том же примере (2*2*3)^2+(2+3)^2=(2^2+3^2)^2/. Ну а мне застарелому чайнику и вовсе не понятно: нажимаю курсором на предварительный просмотр, на клавиатуре нажимаю на цифру 2, кнопки sup  на клавиатуре нет.

 Ошибка в том, что в четном слагаемом должен быть удвоенный праймориал. Тогда второй треугольник запишется так (2*3#)^2 + 5^2=13^2. Научите писать показатели, пожалуйста.

Нужна помощь? Знак # произведение первых простых чисел (праймориалы). Тогда имеем
(2*2#)^2 + 3^2=5^2. Сможете написать еще четыре кроме этого используя 3#, 5#,...?

Я изучал немецкий, поэтому почти не ориентируюсь. У Серпинского в книге "Что мы знаем и чего не знаем о простых числах" (1963г.) он пишет, что им не известно.

Вы наверно меня не поняли. У каждой пары чисел оба простые. Приведите еще хотя бы одну пару кроме трех.

Я знаю пять. Следует заметить, что 4=2x2=2x2#.

 можно продолжить строку 123456789 x 8 + 9 = 987654321

Потрудитесь написать хотя бы одну строку после 123456789 x 8 + 9 = 987654321