|
А почему нет решений?
Здесь есть ссылка на книгу «Математическая смекалка». Честно сказать, в там приведённом решении я так и не смог себя заставить разобраться. Там есть также ссылка на "искусственный способ, приведённый в первом издании", но в чём он состоит мне неведомо.
Я решил эту задачу двумя способами. Одним – достаточно давно, именно после почтения «Математической смекалки». А также я видел где-то (теперь не найду где) эту же задачу (без решения), но не только для 5, а для 5 и 6. Кажется, это олимпиадная задача.
До второго способа решения додумался вчера, и стал искать эту задачу в интернете, наткнулся на этот форум, больше нигде не нашёл.
¹²³⁴⁵⁷⁸+<=>±×÷∂∆∏∑−∕∙√∞∫≈≠≡≤≥
Итак, найти число, которое является полным квадратом, и как при увеличении, так и при уменьшении на k остаётся полным квадратом для k = 5, k = 6.
Начало решения общее для обоих способов.
Пусть искомое число – c². Числа, получающиеся при уменьшении и увеличении на k, обозначим u² и v². Т. е.:
u² = c² − k;
v² = c² + k;
k = c² − u² = v² − c²;
c² = (u² + v²)∕2.
Очевидно, без потери общности можем считать, что c > 0, u ≥ 0 и v > 0. Введём новые переменные:
a = (u + v)∕2;
b = (v − u)∕2.
Тогда:
u = a − b;
v = a + b;
u² = a² − 2ab + b²;
v² = a² + 2ab + b²;
c² = a² + b²;
k = 2ab.
Заметим, что выражения v, u², v², c², k через a и b – симметричны относительно a и b. И лишь для u это не так. Однако если поменять местами a и b, то u = a – b превратится в u = b – a. С учётом u ≥ 0 это может быть записано u = |a – b|. В дальнейшем так и будем считать, т. е. наше решение – симметрично относительно a и b.
Далее решение двумя способами отличается.
******************************
I способ
Итак, после того как мы додумались до замены, задача оказалась не очень сложной. Она сводится к пифагоровым тройкам.
Имеем:
c² = a² + b²;
a² = c² − b²;
a² = (c − b)(c + b);
a∕(c − b) = (c + b)∕a;
a∕(c − b) = (c + b)∕a = m∕n;
m и n – целые взаимно простые, n > 0, в нашем случае также очевидно, что m > n.
a∕(c − b) = m∕n;
(c + b)∕a = m∕n.
Значит:
(c − b)∕a = n∕m;
(c + b)∕a = m∕n.
Складывая и вычитая эти равенства получаем:
b∕a = (m² − n²)∕2mn;
c∕a = (m² + n²)∕2mn.
Но тогда:
a = 2mnp;
b = (m² − n²)p;
c = (m² + n²)p;
где p – некое число, в нашем случае рациональное.
Заметим, что, так как m и n – взаимно простые, они либо нечётные, либо чётным является только одно из них. Однако, если они нечётные, то мы можем принять m′ = (m + n)∕2, n′ = (m − n)∕2, p′ = 2p. Далее, приняв m′, n′, p′ за новые m, n, p, мы получим ту же самую тройку a, b, c с переменой мест a и b, при чём новые m и n будут соответствовать требованиям взаимной простоты, но одно из них будет чётным. Таким образом, нечётные m и n можно вообще исключить из рассмотрения.
Теперь имеем:
k = 2ab = 4mn(m + n)(m − n)p²;
откуда:
(1/2p)² = mn(m + n)(m − n)∕k;
т. е. мы должны отбирать только такие m и n, что mn(m + n)(m − n)∕k – полный квадрат.
Таким образом, мы должны найти целые m и n такие, что:
1) m > n > 0;
2) m и n – взаимно простые;
3) одно из m и n – чётное;
4) mn(m + n)(m − n)∕k – полный квадрат.
Поиск m и n, удовлетворяющих первым трём условиям не представляет сложности. Что касается четвёртого условия, можно просто проверять найденные пары чисел на соответствие ему.
Путём подбора находим:
для k = 5: m = 5, n = 4, 5∙4∙(5 + 4)∙(5 − 4)∕5 = 6²;
для k = 6: m = 2, n = 1, 2∙1∙(2 + 1)∙(2 − 1)∕6 = 1².
Итак, получаем:
для k = 5:
m = 5; n = 4; a = 40p; b = 9p;
k = 5 = 2ab = 720p²;
p² = 1∕144; p = 1∕12; a = 40∕12; b = 9∕12; c = 41∕12; u = 31∕12; v = 49∕12;
c² = 1681∕144; – решение!!!
u² = 961∕144; v² = 2401∕144;
1681∕144 − 961∕144 = 2401∕144 − 1681∕144 = 5; – всё правильно!
для k = 6:
m = 2; n = 1; a = 4p; b = 3p;
k = 6 = 2ab = 24p²;
p² = 1∕4; p = 1∕2; a = 4∕2; b = 3∕2; c = 5∕2; u = 1∕2; v = 7∕2;
c² = 25∕4; – решение!!!
u² = 1∕4; v² = 49∕4;
25∕4 − 1∕4 = 49∕4 − 25∕4 = 6; – всё правильно!
******************************
II способ
Этот способ менее универсальный, но кажется легче. И ещё, думается, человек, привычный к устному счёту, мог бы сделать предлагаемые вычисления в уме (как, судя по всему, это делал Фибоначчи).
Итак, необходимо отыскать c, такое, что:
c² = a² + b²;
k = 2ab.
Для k = 5:
2ab = 5;
2a = 5∕b;
введём новую переменную:
2a = 5∕b = r;
a = r∕2;
b = 5∕r;
c² = a² + b² = r²∕4 + 25∕r² = (r⁴ + 100)∕4r².
Так как эта дробь является полным квадратом, и её знаменатель также является полным квадратом, полным квадратом должен быть и её числитель:
r⁴ + 100 = s²;
c² = s²∕4r²;
c = s∕2r;
s² − r⁴ = 100;
(s − r²)(s + r²) = 100.
Введём новые переменные:
p = (s + r²)∕2;
q = (s − r²)∕2.
Тогда:
s = p + q;
r² = p − q;
pq = 25.
Заметим, что нам подойдут только такие p и q, что p − q – полный квадрат.
Умножим первые два равенства на 4:
4s = 4p + 4q;
(2r)² = 4p − 4q;
(4p)(4q) = 400.
Тогда очевидно, что мы можем положить:
4p = 25;
4q = 16;
откуда:
p = 25∕4; q = 16∕4; s = 41∕4; r² = 9∕4; r = 3∕2; a = 3∕4; b = 10∕3; c = 41∕12;
c² = 1681∕144 – решение!!!
u = 31∕12; v = 49∕12; u² = 961∕144; v² = 2401∕144;
1681∕144 − 961∕144 = 2401∕144 − 1681∕144 = 5; – всё правильно!
Для k = 6:
2ab = 6;
ab = 3;
b = 3∕a;
c² = a² + 9∕a² = (a⁴ + 9)∕a².
Так как эта дробь является полным квадратом, и её знаменатель также является полным квадратом, полным квадратом должен быть и её числитель:
a⁴ + 9 = s²;
c² = s²∕a²;
c = s∕a;
s² − a⁴ = 9;
(s − a²)(s + a²) = 9.
Введём новые переменные:
p = (s + a²)∕2;
q = (s − a²)∕2.
Тогда:
s = p + q;
a² = p − q;
pq = 2,25.
Заметим, что нам подойдут только такие p и q, что p − q – полный квадрат.
Умножим первые два равенства на 4:
4s = 4p + 4q;
(2a)² = 4p − 4q;
(4p)(4q) = 36.
Тогда очевидно, что мы можем положить:
4p = 18;
4q = 2;
откуда:
p = 9∕2; q = 1∕2; s = 5; a² = 4; a = 2; b = 3∕2; c = 5∕2;
c² = 25∕4 – решение!!!
u = 1∕2; v = 7∕2; u² = 1∕4; v² = 49∕4;
25∕4 − 1∕4 = 49∕4 − 25∕4 = 6; – всё правильно!
|
Просмотр сообщений