Логические задачи
      NazVa.net

Я бы не сказал, что это мое окончательное видение задачи
Могу лишь утверждать, что при таком алгоритме математикам в принципе можно не договариваться, т.е. алгоритм работает 100%.
Для определения пары чисел N–1, N требуется N–1 вопросов, в чем можно убедиться выше.
Пробелы уменьшил
P.S. Этим же алгоритмом можно попытаться сократить перебор в два раза, исключая числа при отрицательных ответах не только с начала, но и с конца диапазона. Однако, при таком подходе существует вероятность попасть в центр диапазона — тогда только один из них точно узнает число другого. Но, математики это прекрасно понимают и, когда диапазон возможных чисел сжимается до 3 и 5 соответственно для игроков (пример для четного N, когда начинает спрашивать A. Если N нечетно, то количество вариантов у A и B меняется местами):

A: N–1, N, N+1
B: N–2, N–1, N, N+1, N+2

они переходят на логику «по порядку». Однако, в этом случае им действительно нужно прийти к соглашению, откуда начинать отсчет - в меньшего или с большего числа. А это уже не гарантировано.

Рассмотрим игру немножко с другой, но абсолютно эквивалентной стороны.

На столе стоят три коробки, в одной из которых — приз, в двух других — пусто.

Вам предлагают взять либо одну коробку, либо две.

Взяв одну коробку, шанс выиграть у вас — 1/3. Взяв две коробки — 2/3.

При этом вы точно знаете, что в «кучке» из двух коробок как минимум одна пустая.

Ведущий, ТОЧНО ЗНАЮЩИЙ местоположение приза, открывает одну из пустых коробок из «кучки». Это совершенно не меняет распределение вероятностей по первоначальным группам. Не меняет благодаря тому, что, повторюсь, ведущий ТОЧНО ЗНАЕТ, где лежит приз. Т.о. ведущий лишь показывает, что, мол, «да, действительно, в этой кучке оказалась пустая коробка» — что было известно до этого.

Выбор «кучки» в данной интерпретации равносилет смене мнения после открытия ведущим пустого ящика.

Выбор одной коробки эквивалентен отстаиванию своего первоначального выбора.

Стратегия игры, для которой не нужно заранее договариваться:


A) — Знаешь мое число?
Если B = 1, он отвечает «Да», т.к. знает, что A = 2. Игрок A понимает, что B = 1. Конец.
Если B != 1, игра продолжается.


B) — Нет. А ты знаешь мое число?
Игрок A знает, что B > 1.
Если A = 1, он отвечает «Да», т.к. знает, что B = 2. Игрок B, имея на руках «2», понимает, что A = 1. Конец.
Если A = 2, он отвечает «Да», т.к. знает, что B = 3. Игрок B, имея на руках «3», понимает, что A = 2.
Если A > 2, игра продолжается.


A) — Нет, а ты знаешь мое число?
Игрок B знает, что A > 2.
Если B = 2, он отвечает «Да», т.к. знает, что A = 3. Игрок A, имея на руках «3», понимает, что B = 2.
Если B = 3, он отвечает «Да», т.к. знает, что A = 4. Игрок A, имея на руках «4», понимает, что B = 3.
Если B > 3, игра продолжается.


B) - Нет, а ты знаешь мое число?
Игрок A знает, что B > 3.
Если A = 3, он отвечает «Да», т.к. знает, что B = 4. Игрок B, имея на руках «4», понимает, что A = 3.
Если A = 4, он отвечает «Да», т.к. знает, что B = 5. Игрок B, имея на руках «5», понимает, что A = 4.
Если A > 4, игра продолжается.


A) — Нет, а ты знаешь мое число?
Игрок B знает, что A > 4.
Если B = 4, он отвечает «Да», т.к. знает, что A = 5. Игрок A, имея на руках «5», понимает, что B = 4.
Если B = 5, он отвечает «Да», т.к. знает, что A = 6. Игрок A, имея на руках «6», понимает, что B = 5.
Если B > 5, игра продолжается.


B) - Нет, а ты знаешь мое число?
Игрок A знает, что B > 5.
Если A = 5, он отвечает «Да», т.к. знает, что B = 6. Игрок B, имея на руках «6», понимает, что A = 5.
Если A = 6, он отвечает «Да», т.к. знает, что B = 7. Игрок B, имея на руках «7», понимает, что A = 6.
Если A > 6, игра продолжается.


A) — Нет, а ты знаешь мое число?
Игрок B знает, что A > 6.
Если B = 6, он отвечает «Да», т.к. знает, что A = 7. Игрок A, имея на руках «7», понимает, что B = 6.
Если B = 7, он отвечает «Да», т.к. знает, что A = 8. Игрок A, имея на руках «8», понимает, что B = 7.
Если B > 7, игра продолжается.

...

Разделяю мнение Буки и Ферма!

При счете 5:3 для однозначного определения победителя потребуется сыграть ровно три партии: либо все три партии выиграет второй игрок, и тогда он победит в общем зачете, либо одна из партий будет выиграна первым игроком — тогда выигрывает первый.

По сути, можно рассмотреть новую игру: участвую два игрока A (орел) и B (решка). B выигрывает только в том случае, если три раза подряд выпадает решка. Вероятность такого события при качественной монете — 1/8. Вероятность выигрыша A, соответственно, — 7/8.

Т.е. средний выигрыш игрока A в семь раз больше среднего выигрыша игрока B.

А вообще, если ставки не слишком большие, то им есть смысл взять все деньги и пойти вкусно их проесть вместе!

Пример с интуицией некорректен только потому, что интуиция не дает стабильных результатов, в то время как теория вероятности дает объективную оценку.

Я ни в коем случае не утверждаю, что интуиция — это плохо. Однако, если бы она позволяла получать что-то предсказуемое, то люди, у которых она развита в достаточной степени, просто бы ходили в казино как на работу. А сами казино и прочие азартные игры кану ли бы в лету, такой бизнес перестал бы существовать. Жизнь доказывает обратное — теория вероятности работает прекрасно.

Люди, использующие интуицию или просто случайность (читать — играющие «от балды»), порой выигрывают крупные суммы (джекпоты) и далее кладут деньги в банк и живут на проценты, путешествуя по миру и т.д. Но таких мало. А вот суммы проигравших людей значительно больше суммы выигрышей благодаря вероятностям.

Даже в казино существуют игры, в которых игрок, наблюдая и анализируя условия, может получить вероятность своего выигрыша более 0.5. Однако, это может происходить только лишь при скурпулезном анализе. При этом игрок должен придерживаться определенной стратегии, чтобы эту вероятность «поймать». Казино всеми мерами отслеживает таких игроков и устраняет их. Именно потому, что такие игроки опасней, нежели те, которые случайно выигрывают джекпот.

Стоит различать случайные события и неслучайные. Каждый ход в рулетке — событие случайное. Для простоты отбросим «зеро». Выпадение четного/нечетного, красного/черного — события равновероятные при каждом ходе. Если вы наблюдали, как в течение трех ходов подряд выпадали черные, то вероятность выпадения красного на четвертый ход составляет опять-таки 0.5, т.к. выпадение цепочек ЧЧЧЧ и ЧЧЧК равновероятно. Однако легко убедиться, что вероятность выпадения хотя бы одного красного в течение четырех ходов составляет 15/16, т.е. очень близка к 1.

Теперь непосредственно к обсуждаемой задаче.

1) каждый раз приз кладется в случайную коробку
2) ведущий заранее знает, где лежит приз
3) после выбора игрока ведущий всегда открывает пустой ящик и предлагает игроку изменить выбор
4) если игрок изначально угадал коробку с призом, то ведущий случайным образом определяет, какую из пустых коробок открыть

Именно этот набор условий и обеспечивает существование выигрышной стратегии для игрока — менять свой выбор. На первых страницах уже была картинка, которая его иллюстрирует.
Если вы будете всегда менять свой выбор после открытия ведущим пустой коробки, то в среднем будете выигрывать в двух из трех случаев.
Если всегда придерживаться первого выбора, то вы будете выигрывать в среднем в одном из трех случаев.