Логические задачи
      NazVa.net

   Задача решаема элементарно. Просто, сначала двумерный случай разобрал быстро, но неправильно. Теорема Пика там не нужна.
    Пока есть возможность блеснуть умом и сообразительностью. А вечером будет дано элементарное решение.

   Это неунылая, но решаемая задача.

   Двумерный случай. Сначала доказывается для 5 множеств. Затем по индукции распространяется на произвольное конечное число множеств. Для случая 5 множеств возьмем пять точек из пересечения всех множеств кроме i-го. Это и есть условный пятиугольник. Если он не является выпуклым или вершины совпадают, то все ясно. Остается доказать для выпуклого пятиугольника. Все равно это нужно доказывать для случая, когда i-ое множество является выпуклой оболочкой всех 5 вершин  этого пятиугольника кроме i-ой.

   Это несложно. Это следует из тех же соображений, что и в оригинальной теореме Хелли.

   Я уже завел нового пользователя в скайпе. Осталось вспомнить пароль к нему.

  Для двумерного случая знать почти ничего не надо.  Но теорема доказывается для любой конечной размерности. А вот как доказать ручками для трех размерностей? Это вопрос!

  Есть ли желающие сыграть в "ассоциации"?

   Я знаю источник, в котором доказывается эта теорема.

  "За державу обидно!"

   Жаль, что есть за бугром, но нет у нас. А язык в данном случае, конечно, не очень важен.

     Теорема Пифагора имеет бесконечное число попарно непропорциональных решений в целых числах. Возьмем n таких решений. После возьмем их пропорциональные аналоги с одинаковой первой компонентой. Возьмем соответствующие точки на прямой и одну не на прямой.
           Задача для  Sirion'a (лекарство от унылости задач).
     Докажите аналог теоремы Хелли для трехмерной целочисленной решетки.  Для целочисленной решетки Z^d (d=3) найдите такое наименьшее число k(d), что верно следующее утверждение.  Для любого  конечного семейства выпуклых подмножеств  Z^d, такого что пересечение любых k(d) из них непусто, следует, что пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто. Множество S из Z^d назывется выпуклым, если существует  такое выпуклое множество T из R^d, что S является пересечением T и Z^d.

  (10,10), (6,30), (30,6).

   Есть интересный сайт //текст доступен после регистрации//  . На нем вы можете узнать свойства незнакомых числовых последовательностей ( например, общий член последовательности по нескольким первым), интересные и полезные ссылки. Если же вы знаете важную последовательность, которой там нет, то вы можете сделать свой вклад в науку, внеся эту последовательность в список.
  P.S. Очень жаль, что нет аналогичного русскоязычного ресурса (я, по крайней мере, не нашел).

    Это возможно для единицы и произвольного натурального числа, которое больше или равно 5. Произвольный равносторонний треугольник можно разбить на 3 трапеции со сторонами x,x,x,2x. Каждую такую трапецию можно рассматривать как равносторонний пятиугольник. Произвольный равносторонний треугольник можно разбить на равносторонний треугольник со стороной вдвое меньше стороны исходного и трапецию со сторонами x,x,x,2x. Правильный пятиугольник можно разбить на равносторонний пятиугольник и ромб с углом 72 градуса. Этот ромб можно разбить на равносторонний треугольник и равносторонний пятиугольник. Из этого следует возможность требуемого разбиения для n>=5. Совершаем небольшой перебор с оценкой для доказательства невозможности требуемого построения для n=2,3,4.

  Обобщение задачи. Пусть есть n монет. Известно, что ровно k из них фальшивые. Нужно определить в какую сторону отличается вес фальшивой монеты от веса настоящей или определить их равенство. Какое минимальное число взвешиваний на чашечных весах для этого требуется, если а) вес фальшивой монеты отличается от веса настоящей б) вес фальшивой монеты может совпадать с весом настоящей монеты.
  Пусть есть n монет. Известно, что меньше половины из них фальшивые. Нужно определить в какую сторону отличается вес фальшивой монеты от веса настоящей или определить их равенство. Какое минимальное число взвешиваний на чашечных весах для этого требуется, если а) вес фальшивой монеты отличается от веса настоящей б) вес фальшивой монеты может совпадать с весом настоящей монеты.