Логические задачи
      NazVa.net

Обозначим за d количество цифр в числе n, за k - то, что останется от m, если отрезать от него n (и, возможно, ведущие нули), за p - (количество цифр в числе m) вычесть d (это не обязательно равняется числу цифр в числе k, ибо те самые ведущие нули). Тогда:

m = k + n*10^p = (k*10^d + n)*n
k*(10^d*n-1) = n*(10^p-n)
k = n*(10^p-n)/(10^d*n-1)

Заметим, что если по этой формуле получится целое k, то оно заведомо будет меньше 10^p, то есть влезет по цифрам. Осталось понять, всегда ли мы можем получить целое k при заданном n, варьируя p.
Нам нужно, чтобы 10^p - n делилось на 10^d*n - 1. Это будет происходить тогда и только тогда, когда (10^p - n)*10^d + (10^d*n - 1) = 10^p+d - 1 делится на 10^d*n - 1. Заметим, что 10 и 10^d*n - 1 взаимно просты. Значит, по теореме Эйлера 10^{ф(10d*n - 1)} - 1 делится на 10^d*n - 1. Следовательно, для всякого n существует m = k + 10^{ф(10d*n - 1)-d}
= n*(10^{ф(10d*n - 1)-d}-n)/(10^d*n-1) + 10^{ф(10d*n - 1)-d}

Есть гипотеза, что для всех. Но я пока не уверен.

забавно, я допустил точно такую же ошибку)

Единственная поправка к доказательству RaiN: если пара литровых кружек находится не рядом, то обладатель одной из них выливает свой чайник соседу, тот - своему соседу, и так пока эти несчастные поллитра не дойдут до владельца второй литровой кружки (который выливает свой чайник себе).

отсюда вывод: нечего тратить время на красивые картинки)

Склонен не согласиться. Мне кажется, в условии подразумевается:"Какое наибольшее число гостей могут напиться при наихудшем расположении чашек?" То есть мы не контролируем, у кого из гостей какие чашки. Ответ будет тем же, доказательство - чуть-чуть длиннее.

Показать скрытый текст

Обновлял коммент раз пять, наверное) Решение в процессе написания неверного решения - мой конёк.

а я знаю, а я знаю =)

ненада, я только что увидел)

а вот за что плюсик? я вас обманул, тут белые и чёрные не по очереди ходят

Пример, допустим, вот: Показать скрытый текст

Пример - не проблема. Вот доказательство, что быстрее нельзя - более затруднительно.

я случайно 

есть мнение, что за Показать скрытый текст