|
zhekas
|
 |
« : Май 10, 2011, 17:47:38 » |
|
На примере A(4,7,1)
| 1 2 3 4|
| 5 6 7 1|
| 2 3 4 5|
| 6 7 1 2|
Вычтем из i-ой строки i-1-ую строку. При этом определительль не изменится
| 1 2 3 4|
| 4 4 4-3|
A=|-3-3-3 4|
| 4 4-3-3|
получили N-1 строку состоящую либо из какого-то числа m=4 либо из равного по модулю k=7 отрицательного числа m-k=-3
Следующий этап. Работаем со второй строкой
( 4 4 4 -3) = (7 7 7 0) - (3 3 3 3)
поэтому определитель разобьётся на два определителя
| 1 2 3 4| | 1 2 3 4| | 1 2 3 4|
| 4 4 4-3| | 7 7 7 0| | 3 3 3 3|
|-3-3-3 4| = |-3-3-3 4| - |-3-3-3 4|
| 4 4-3-3| | 4 4-3-3| | 4 4-3-3|
Берём первую матрицу
| 1 2 3 4| | 1 2 3 4| | 1 2 3 4|
| 7 7 7 0| | 7 7 7 0| | 7 7 7 0|
|-3-3-3 4| = | 0 0 0 7| - | 3 3 3 3|
| 4 4-3-3| | 4 4-3-3| | 4 4-3-3|
Далее
| 1 2 3 4| | 1 2 3 4| | 1 2 3 4|
| 7 7 7 0| | 7 7 7 0| | 7 7 7 0|
| 0 0 0 7| = | 0 0 0 7| - | 0 0 0 7|
| 4 4-3-3| | 7 7 0 0| | 3 3 3 3|
В итоге получили:
определитель матрицы A равен сумме определителей
1) матрицы у которой нижние N-1 строки состоят из нулей и семёрок(k). Её определитель крате k^{N-1}
2) матриц у которых на i-ая строка равна (3 3 3 3) ( (m-k m-k m-k .... m-k) ), строки между первой и i-ой состоят из нулей и семёрок(k), а строки ниже идентичны строкам матрицы A
Рассмотрим матрицы из второй группы на примере
| 1 2 3 4| | 1 2 3 4| | 1 2 3 4|
| 3 3 3 3| | 3 3 3 3| | 3 3 3 3|
|-3-3-3 4| = | 0 0 0 7| - | 3 3 3 3|
| 4 4-3-3| | 4 4-3-3| | 4 4-3-3|
второй определитель равен 0 (так как у неё 2 одинаковых строки)
| 1 2 3 4| | 1 2 3 4| | 1 2 3 4|
| 3 3 3 3| | 3 3 3 3| | 3 3 3 3|
| 0 0 0 7| = | 0 0 0 7| - |-3-3-3 4|
| 4 4-3-3| | 7 7 0 0| | 3 3 3 3|
опять же второй определитель равен 0
таким образом мы привели матрицы из второго типа к матрицам, у которых i-я строка состоит из троек (m-k), а N-2 строки (все кроме i-ой и первой) состоят из 7 (k) и нулей. Следовательно их определители кратны k^{N-2}
|
Записан