Немного копипасты из Википедии для тех, кто не знаком с этим няшным парадоксом.
Показать скрытый текст Парадокс Бертрана заключается в следующем: рассмотрим равносторонний треугольник, вписанный в окружность. Наудачу выбирается хорда окружности. Какова вероятность того, что выбранная хорда длиннее стороны треугольника?
Бертран предложил три решения, очевидно верных, но дающих различный результат.
Метод «случайного радиуса»: зафиксируем радиус окружности, наудачу выберем точку на радиусе. Построим хорду, перпендикулярную зафиксированному радиусу, проходящую через выбранную точку. Для нахождения искомой вероятности, представим, что треугольник повернут так, что одна из его сторон перпендикулярна зафиксированному радиусу. Хорда длиннее стороны треугольника, если ее центр ближе к центру, чем точка пересечения треугольника с зафиксированным радиусом. Сторона треугольника делит пополам радиус, следовательно вероятность выбрать хорду длиннее стороны треугольника 1/2.
Метод «случайных концов»: наудачу выберем две точки на окружности и проведем через них хорду. Чтобы посчитать искомую вероятность, представим, что треугольник повернут так, что одна из его вершин совпадает с концом хорды. Заметим, что если другой конец хорды лежит на меньшей дуге между двумя другими вершинами треугольника, то длина хорды больше стороны треугольника. Длина рассмотренной дуги равна трети длины окружности, следуя классическому определению, искомая вероятность равна 1/3.
Метод «случайного центра»: выберем наудачу произвольную точку внутри круга и построим хорду с центром в выбранной точке. Хорда длиннее стороны равностороннего треугольника, если выбранная точка находится внутри круга, вписанного в треугольник. Площадь вписанного круга есть 1/4 от площади большего, значит исходная вероятность равна 1/4.
Задачи как таковой здесь нет. Есть тема для исследования: какие ещё результаты мы сможем получить, определяя "случайную хорду" другими (логичными) способами? В частности, сможем ли мы продолжить ряд и найти такое определение случайной хорды, чтобы вероятность оказалась равна 1/5?
Записан