Показать скрытый текст
1+2+...+65=65*66/2=65*33 - число нечетное, а если разбить на группы то в каждой группе сумма должна быть четная.
2
Показать скрытый текст
пронумеруем все фишки 1,2,3,...,100.
вначале все нечетные фишки стоят на нечетных местах, а все четные на четных и это сохраняется при любой перестановке.
в обратном порядке всё наоборот.
3
Показать скрытый текст
если p и q два взаимно простых числа то числа
1p mod q
2p mod q
...
(q-1)p mod q
являются некоторой перестановкой чисел 1,2,...,q-1
(среди них нет 0, т.к. множитель перед p на q не делится;
и нет равных между собой: тогда их разность (k2-k1)p mod q = 0 - см. строчку выше.)
т.к. 10000 и 1971 вз. просты то существует такое n что 1971n mod 10000 = 1.
1971n=10000m+1
1971(n+1)=10000m+1972.
4
Показать скрытый текст
N-угольник A1A2...AN.
строим из одной точки векторы A1A2,A2A3,... ,ANA1.
каждый следующий по кругу вектор будет повёрнут относительно предыдущего на некоторый угол.
каждый острый угол многоугольника даёт поворот на угол >pi/2, сумма всех поворотов = 2pi.
5
Показать скрытый текст
R-проекция Q на AD.
т.к. Q-точка пересечения медиан ABD то
QR=BP/3, PR=2PN/3=2(BC/2)/3=BC/3.
QR/PR=BP/BC.
Записан