3. Используем метод мат. индукции.
1) x1+(1-x1)=1<=1
2) Пусть x1*x2*...*xn-1+(1-x1)...(1-xn-1)<=1
3) Докажем, что неравенство верно для n
x1*...*xn-1*xn=((x1*...*xn-1)2(xn)2)0,5<=((x1*...*xn-1)2+(xn)2)/2<=(x1*x2*...*xn-1)/2+(xn)/2.
Аналогично доказывается, что
(1-x1)...(1-xn)<=((1-x1)...(1-xn-1))/2+(1-xn)/2.
Сложив полученные неравенства, используя индуктивное предположение 2) получим
x1*x2*...*xn+(1-x1)...(1-xn)<=(x1*x2*...*xn-1+(1-x1)...(1-xn-1))/2+1/2<=1.
бивис, у вас склонность к усложнению решений? наблюдаю уже не в первый раз )))1) x1+(1-x1)=1<=1
2) Пусть x1*x2*...*xn-1+(1-x1)...(1-xn-1)<=1
3) Докажем, что неравенство верно для n
x1*...*xn-1*xn=((x1*...*xn-1)2(xn)2)0,5<=((x1*...*xn-1)2+(xn)2)/2<=(x1*x2*...*xn-1)/2+(xn)/2.
Аналогично доказывается, что
(1-x1)...(1-xn)<=((1-x1)...(1-xn-1))/2+(1-xn)/2.
Сложив полученные неравенства, используя индуктивное предположение 2) получим
x1*x2*...*xn+(1-x1)...(1-xn)<=(x1*x2*...*xn-1+(1-x1)...(1-xn-1))/2+1/2<=1.
в каждом слагаемом все сомножители кроме первого заменим на 1, получим требуемое неравенство
x1*x2*...*xn+(1-x1)...(1-xn) <= x1 + (1-x1) <= 1
а можно ещё проще - представьте, что слагаемые - это объёмы двух непересекающихся гиперпараллелепипедов внутри единичного гиперкуба
Записан