Фонарщик может зажечь фонари в вершинах квадрата, поскольку сторона правильного восьмиугольника меньше радиуса описанной окружности. Он строит восьмиугольник так, что вершины квадрата являются вершинами восьмиугольника через одну. Регулирует первый фонарь так, чтобы освещалась соседняя вершина восьмиугольника, ставит там переносной фонарь и регулирует его так же, после этого можно зажечь следующий фонарь и забрать переносной и т. д.
Для треугольника это уже не сработает, потому что сторона правильного шестиугольника точно равна радиусу описанной окружности. Чтобы строго доказать, что решения в этом случае нет, проведем окружность с центром в фонаре, у которого в начале стоит фонарщик, и радиусом, равным радиусу описанной вокруг треугольника окружности, т. е. расстоянию от фонаря до центра. Это критическая окружность — если первый фонарь осветит ее, он разбудит тигра. Теперь рассмотрим отрезки, соединяющие центр с другими двумя фонарями, и проведем серединные перпендикуляры к ним. Легко видеть, что эти перпендикуляры будут в точности касательными к критической окружности. Отсюда видно, что любая точка внутри критической окружности ближе к центру, чем к другим фонарям. Значит, где бы фонарщик ни поставил переносной фонарь, он не сможет осветить другой фонарь (кроме первого), не разбудив тигра. Конечно, если мы считаем всё математическими точками
Для треугольника это уже не сработает, потому что сторона правильного шестиугольника точно равна радиусу описанной окружности. Чтобы строго доказать, что решения в этом случае нет, проведем окружность с центром в фонаре, у которого в начале стоит фонарщик, и радиусом, равным радиусу описанной вокруг треугольника окружности, т. е. расстоянию от фонаря до центра. Это критическая окружность — если первый фонарь осветит ее, он разбудит тигра. Теперь рассмотрим отрезки, соединяющие центр с другими двумя фонарями, и проведем серединные перпендикуляры к ним. Легко видеть, что эти перпендикуляры будут в точности касательными к критической окружности. Отсюда видно, что любая точка внутри критической окружности ближе к центру, чем к другим фонарям. Значит, где бы фонарщик ни поставил переносной фонарь, он не сможет осветить другой фонарь (кроме первого), не разбудив тигра. Конечно, если мы считаем всё математическими точками
Записан