Показать скрытый текст
Предположим, что при каком-то значении N фокус удастся. Тогда по каждому варианту последовательности с двумя закрытыми цифрами (пусть их количество равно k1 ) фокусник может восстановить исходную; значит, каждой последовательности с двумя закрытыми цифрами фокусник однозначно может поставить в соответствие восстановленную последовательность из N цифр (пусть их количество равно k2 ). Следовательно, k1 ≥ k2 . Отметим, что k1=(N-1)·10N-2 (есть N-1 вариант вычеркнуть две цифры, а на остальные N-2 позиции есть по 10 вариантов на каждую). Нетрудно видеть, что k2=10N . Тогда из k1 ≥ k2 следует, что N-1 ≥ 100 , т.е. N ≥ 101 .
Покажем, как выполнить фокус при N=101 . Пусть сумма всех цифр на нечетных позициях имеет остаток s от деления на 10, а сумма всех цифр на четных позициях имеет остаток t от деления на 10 (позиции нумеруются слева направо числами от 0 до 100). Положим p=10s+t . Пусть помощник закроет цифры, стоящие на позициях p и p+1 . Увидев, какие цифры закрыты, фокусник определит p , а следовательно, определит s и t . Отметим, что одна закрытая цифра стоит на нечетной позиции, а другая – на четной. Таким образом, вычислив сумму открытых цифр на нечетных позициях и зная s , фокусник определит закрытую цифру, стоящую на нечетной позиции. Аналогично определяется закрытая цифра, стоящая на четной позиции.
Записан