Показать скрытый текст
Решение 1
Предположим, что Али-Баба смог унести из пещеры x кг золота и y кг алмазов. В этом случае он сможет получить 20x + 60y динаров. Поскольку Али-Баба может поднять не более 100 кг, то x + y ≤ 100 (*).
1 кг золота занимает 1/200, а 1 кг алмазов – 1/40 часть сундука.
Значит, x/200 + y/40 или x + 5y ≤ 200 (**).
Сложив неравенства (*) и (**) и умножив на 10, получим: 20x + 60y ≤ 3000. Следовательно, Али-Баба сможет получить за сокровища не более 3000 динаров.
Осталось показать, что Али-Баба сможет унести сокровища на эту сумму. Для этого необходимо и достаточно, чтобы в неравенствах (*) и (**) были выполнены равенства. Решив соответствующую систему уравнений, найдём x = 75, y = 25. Это значит, что Али-Баба сможет получить 3000 динаров, взяв из пещеры 75 кг золота и 25 кг алмазов.
Решение 2
Выгодно набить сундук полностью и по весу, и по объему. Действительно, если сундук неполон, то можно небольшую часть золота заменить на равное по весу количество алмазов. При этом объем и стоимость груза возрастут. Если же сундук весит меньше 100 кг, то можно, наоборот, заменить небольшую часть алмазов на в 5 раз большее по весу количество золота. При этом стоимость груза также возрастёт.
Поэтому (в обозначениях решения 1) x< + y = 100 и x + 5y = 200, а стоимость этого груза равна 20x + 60y = 10·(x + y + x + 5y) = 3000 динаров.
(Разумеется, надо убедиться в том, что система имеет решение в неотрицательных числах.)
Записан