№1
Настенные часы сломались, отчего минутная стрелка стала в произвольные моменты времени мгновенно менять направление своего движения на проти¬воположное, вращаясь со своей прежней угловой скоростью. Все потенциальные показания (в минутах) этой стрелки целиком заполняют промежуток [0; 60).
а)Может ли такая стрелка в течение одного часа бесконечно много раз пока¬зать каждое из двух чисел 15 и 45?
б)Какое наибольшее количество раз в течение трех суток может встретиться самое редкое показание такой стрелки (из всех потенциальных показаний за эти трое суток)?
Ответы: а) да б) 72
а)Да. Она может колебаться около 15 и 45 в течение бесконечно малого времени.Настенные часы сломались, отчего минутная стрелка стала в произвольные моменты времени мгновенно менять направление своего движения на проти¬воположное, вращаясь со своей прежней угловой скоростью. Все потенциальные показания (в минутах) этой стрелки целиком заполняют промежуток [0; 60).
а)Может ли такая стрелка в течение одного часа бесконечно много раз пока¬зать каждое из двух чисел 15 и 45?
б)Какое наибольшее количество раз в течение трех суток может встретиться самое редкое показание такой стрелки (из всех потенциальных показаний за эти трое суток)?
Ответы: а) да б) 72
б)Этот "орешек" посложнее. Но мы трудностей не боимся:
Сначала сделаем несколько замечаний.
А. Стрелка может менять своё направление мгновенно в бесконечном количестве точек, но не может это делать в КАЖДОЙ точке.
Этим, собственно говоря, континуум "больше" счётной бесконечности (это я на сленге).
Б. Мы берёмся доказать, что самая непосещаемая точка может быть посещена либо 72 раза за трое суток (72 часа) либо меньше.
Доказательство.
1.Нарисуем 72 циферлата (просто окружности), например, жёлтым цветом.
Будем наблюдать за поведением стрелки и на первом циферблате закрашивать соответствующий участок красным цветом.
2.Как только возникнет ситуация, что какой-то участок (или часть его уже окрашена в красный цвет, мы начинаем закрашивать этот участок на следующем циферблате.
3.Если возникнет ситуация, когда какой-то участок закрашен на всех 72 циферблатах, мы начинаем закрашивать его на 1-м циферблате синим цветом.
И так далее - у нас много цветов, а рисуем/закрашиваем мы мгновенно.
3. Я утверждаю, что в конце (т.е. по истечении 3-х суток) на хотя бы одном циферблате будут оставаться красные или жёлтые участки.
4. Действительно, в противном случае "сумасшедшая" стрелка обязана была бы покрыть путь в более чем 72 окружности, что невозможно, поскольку её угловая скорость не изменилась по модулю.
5. Вместо 72 циферблатов можно закрашивать обод наших часов и утверждать, что в конце окажется хотя бы 1 участок, закрашенный одним из 1-х 72-х цветов или вообще девственный.
Записан