1) 5*x2+8*y2=317
n= x^2, m= y^2 => 5n+8m=317 ((1))
1. Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент (в нашем случае это n ), и выразим его через другое неизвестное: n=(317-8m)/5. Выделим целую часть: n=(315+2-3m-5m)/5=(315-5m+2-3m)/5=63-m+(2-3m)/5. Очевидно, что n будет целым, если выражение (2-3m)/5 окажется целым, что, в свою очередь, будет иметь место тогда, когда число 2-3m без остатка делится на 5.
2. Введем дополнительную целочисленную переменную z следующим образом: 2-3m = 5z. В результате получим уравнение такого же типа, как и первоначальное, но уже с меньшими коэффициентами. Решать его будем уже относительно переменной m, рассуждая точно также как в п.1: m=(2-5z)/3. Выделяя целую часть, получим: m=(3-1-2z-3z)/3=(3-3z-(1+2z))/3=1-z-(1+2z)/3 . Рассуждая аналогично предыдущему, вводим новую переменную u: 3u = 1+2z.
3. Выразим неизвестную с наименьшим коэффициентом, в этом случае переменную z: z=(3u-1)/2=(2u+u-1)/2=u+(u-1)/2 . Требуя, чтобы (u-1)/2 было целым, получим: u-1=2v, откуда u= 1+2v. Дробей больше нет, спуск закончен.
4. Теперь необходимо «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала z, потом n и затем m:
z= u+(u-1)/2=1+2v+(1+2v-1)/2=1+2v+v=1+3v
m=1-z-(1+2z)/3=1-(1+3v)-(1+2(1+3v))/3=-3v-(1+2+6v)/3=-3v-1-2v=-5v-1
n=63-m+(2-3m)/5=63-(-5v-1)+(2-3(-5v-1))/5=63+5v+1+(2+15v+3)/5=64+5v+1+3v=8v+65
5. Формулы n=65+8v и m=-1-5v, где v – произвольное целое число, представляют общее решение исходного уравнения ((1)) в целых числах.
6. Для x^2=65+8v и y^2=-1-5v v должно быть: -8=<v<0
Когда v=-2:
x^2=65+8v=65-16=49=7^2, x=7
y^2=-1-5v=-1+10=9=3^2, y=3
Ответ: x=7, y=3
Записан