У кого есть в наличии олимпиадные, но интересные и нестандартные, то, - если не лень, - можете бросать сюда. Для начала вот:
3. Сколько существует десятизначных чисел, делящихся на 11111, у которых все цифры различны?
Показать скрытый текст
10!! - 8!!
правильно.
можете показать решение?, потому что в том решении, которое у меня, парные факториалы не используются.
Так как 10-и значное число состоит из всех цифр, то оно в добавок делится на 9, тоесть в итоге на 99999.
Получаем n*99999, где n 5-и значное число. Обозначим его за abcde
abcde*99999 = abcde*(100000 - 1) = abcde00000 - abcde =
=abcd(e-1)(9-a)(9-b)(9-c)(9-d)(9-(e-1))
В итоге получили, что число имеет вид
abcdf(9-a)(9-b)(9-c)(9-d)(9-f)
Все цифры разбиваются на пары (a и 9-a): (0,9); (1,8);(2,7)(3,6);(4,5)
В первых пяти цифрах числа может быть только одна цифра из пары, а другая цифра занимает место во вторых пяти цифрах числа (причем точно такоеже место как и первая цифра).
Найдём количество таких чисел.
На первом месте может стоять одна из 10-и цифр (10 возможностей)
На втором уже одна из 8-и цифр (удалили первую цифру и её пару) (8 возможносте)
На третьем одна из 6-и
На четвертом одна из 4-х
На пятом одна из 2-х
На остальных пяти позициях цифры определяются однозначно.
Итого 10*8*6*4*2 = 10!!
Осталось только вычесть количество нами составленных чисел, у которых на первой позиции поставился 0 (так как это уже не 10-и значное число). Их будет соответсвтенно 8*6*4*2 = 8!! (так как 0 и 9 мы уже поставили в число на первое и 6 места).
Итого 10!! - 8!!
Записан