fortpost
Высший разум
Offline
Сообщений: 6853
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1794
-вас поблагодарили: 2261
|
|
� : Ноябрь 01, 2016, 20:31:45 � |
|
1) Найти частное решение ДУ и вычислить значение полученной функции при x=x0, с точностью до двух знаков после запятой. y'''=xsinx , Xo=П/2, y(0)=0, y'(0)=0 (Ответ: 0.14 ) 2) Найти общее решение ДУ, допускающего понижение порядка y''-y'/(x-1)=x(x-1) (Ответ: y=x^4/8-x^3/6+C1x^2/2-C2x+C3) 3) Найти общее решение ДУ: a) y''-3y'=0 б) y''-7y'-8y=0 в) y''+4y'+13y=0
|
|
|
Записан
|
Лучший способ оказаться в дураках, это считать себя умнее других. Ф. Ларошфуко
|
|
|
fortpost
Высший разум
Offline
Сообщений: 6853
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1794
-вас поблагодарили: 2261
|
|
� Ответ #1 : Ноябрь 01, 2016, 21:11:30 � |
|
1) Найти частное решение ДУ и вычислить значение полученной функции при x=x0, с точностью до двух знаков после запятой. y'''=xsinx , x0=π/2, y(0)=0, y'(0)=0 (Ответ: 0.14 )
y'' = ∫xsinxdx = -xcosx - ∫-cosxdx = -xcosx + sinx + C1 | u=x → du=dx; dv=sinxdx → v=-cosx
y' = ∫(-xcosx + sinx + C1)dx = ∫-xcosxdx - cosx + C1x + C2 ∫-xcosxdx = -xsinx + ∫sinxdx = -xsinx - cosx | u=x → du=dx; dv=-cosxdx → v=-sinx y' = -xsinx - 2cosx + C1x + C2
y = ∫(-xsinx - 2cosx + C1x + C2)dx = xcosx - 3sinx + C1ax2 + C2x + C3; C1a = C1/2
y(0) = 0 → C3 = 0 y'(0) = 0 → C2 = 2 y''(0) = 0 → C1 = 0
y = xcosx - 3sinx + 2x y(π/2) = π/2∙cos(π/2) - 3sin(π/2) + 2π/2 ≈ 0.14
|
|
� Последнее редактирование: Ноябрь 01, 2016, 21:44:27 от fortpost �
|
Записан
|
Лучший способ оказаться в дураках, это считать себя умнее других. Ф. Ларошфуко
|
|
|
fortpost
Высший разум
Offline
Сообщений: 6853
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1794
-вас поблагодарили: 2261
|
|
� Ответ #2 : Ноябрь 02, 2016, 00:55:09 � |
|
2) Найти общее решение ДУ, допускающего понижение порядка y''-y'/(x-1)=x(x-1) (Ответ: y=x4/8-x3/6+C1x2/2-C2x+C3)
y' = t y'' = t'
t' - t/(x-1) = x(x-1)
t' - t/(x-1) = 0 t' = t/(x-1) dt/t = dx/(x-1) ln|t| = ln|x-1| + ln|C| t = C(x-1)
t = C(x)(x-1) C'(x)(x-1) + C(x) - C(x)(x-1)/(x-1) = x(x-1) C'(x) = x C(x) = x2/2 + C1
t = (x2/2 + C1)(x-1)
y' = (x2/2 + C1)(x-1) y = ∫(x2/2 + C1)(x-1)dx = ∫(x3/2 - x2/2 + C1x - C1)dx = x4/8 - x3/6 + C1x2/2 - C1x + C2
|
|
|
Записан
|
Лучший способ оказаться в дураках, это считать себя умнее других. Ф. Ларошфуко
|
|
|
fortpost
Высший разум
Offline
Сообщений: 6853
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1794
-вас поблагодарили: 2261
|
|
� Ответ #3 : Ноябрь 02, 2016, 16:12:16 � |
|
3) Найти общее решение ДУ: a) y''-3y'=0 б) y''-7y'-8y=0 в) y''+4y'+13y=0
a) y'' - 3y' = 0
y' = t y'' = t'
t' - 3t = 0 dt/dx = 3t dt/t = 3dx ln|t| = 3x + ln|C1| t = C1e3x
y' = C1e3x y = ∫C1e3xdx = 1/3∙C1e3x + C2
|
|
|
Записан
|
Лучший способ оказаться в дураках, это считать себя умнее других. Ф. Ларошфуко
|
|
|
fortpost
Высший разум
Offline
Сообщений: 6853
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1794
-вас поблагодарили: 2261
|
|
� Ответ #4 : Ноябрь 02, 2016, 23:30:02 � |
|
б) y'' - 7y '- 8y = 0
k2 - 7k - 8 = 0 k1,2 = 7/2 ± √(49/4+8) = 7/2 ± √81/4 = 7/2 ± 9/2 k1 = 8, k2 = -1
Корни действительные и различные, поэтому, общее решение однородного уравнения имеет вид
y = C1ek1x + C2ek2x = C1e8x + C2e-x
|
|
|
Записан
|
Лучший способ оказаться в дураках, это считать себя умнее других. Ф. Ларошфуко
|
|
|
fortpost
Высший разум
Offline
Сообщений: 6853
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1794
-вас поблагодарили: 2261
|
|
� Ответ #5 : Ноябрь 02, 2016, 23:48:05 � |
|
в) y'' + 4y' + 13y = 0
k2 + 4k + 13 = 0 k1,2 = -2 ± √(4-13) = -2 ± 3i α = -2, β = 3
Получили пару комплексно сопряженных корней характеристического уравнения, следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид
y = eαx(C1cosβx + C2sinβx) = e-2x(C1cos3x + C2sin3x)
|
|
|
Записан
|
Лучший способ оказаться в дураках, это считать себя умнее других. Ф. Ларошфуко
|
|
|
|