Получи число

[Илья]

С натуральным числом (записываемым в десятичной системе) разрешено проделывать следующие операции:

А) приписать на конце цифру 4;

Б) приписать на конце цифру 0;

В) разделить на 2 (если число чётно).
 Из числа 4 получите число 1972.

[Lkob]

1. Делим на 2. (4:2 = 2)
2. Приписываем 4. (24)
3. Делим на 2 (12)
4. Приписываем 4 (124)
5. Делим на 2 (62)
6. Приписываем 4 (624)
7. Делим на 2 (312)
8. Делим на 2 (156)
9. Делим на 2 (78)
10. Делим на 2 (39)
11. Дописываем 4 (394)
12. Дописываем 4 (3944)
13. Делим на 2 (1972)

Получилось 13 операций, но 0 я нигде не использовал. Наверное, можно быстрее.

[Илья]

Может и можно.  Но это была только разминка. А теперь основное задание:
Докажите, что из числа 4 можно получить любое натуральное число с помощью этих операций.

[Pachemychka Pacman]

Может и можно.  Но это была только разминка. А теперь основное задание:
Докажите, что из числа 4 можно получить любое натуральное число с помощью этих операций.

Чтобы доказать это, надо подтвердить, что число будет делится на 2, 3, 5, 7.
Остальное понятно само собой.
На два оно будет делиться, и так понятно.
На 3:
н=2*2*2*2*2*2(4);
На 5:
н=(4)0.
На 7:
н=2⁷*4.
Следовательно, повтором операций, их комбинированием мы получаем любое число.
*Напоминаю, логика 12-летнего ребёнка!*

[Илья]

Чтобы доказать это, надо подтвердить, что число будет делится на 2, 3, 5, 7

Любое натуральное. 19 например не будет делиться на 2 3 5 и 7, тем не менее его можно получить.

[Lkob]

Тут надо идти от обратного. Т.е. берем число n и надо доказать, что его можно свести до 4.
Если число нечетное, сразу умножаем на 2 - получаем четное, значит достаточно доказать для четных.
Возьмем число 10n+0 - обрезаем 0 и получаем n;
Возьмем число 10n+2 - умножаем на 2 и обрезаем 4 => 2n.
Возьмем число 10n+4 - можно получить n.
Возьмем число 10n+6 - дважды умножаем на 2, обрезаем 4.
Возьмем число 10n+8 - Трижды умножаем на 2, обрезаем 4.
  Получается, что в каждом случае число уменьшается. Т.е. проделывая вышеописаные операции, легко прийдем к 1.

[Илья]

Все верно.

[Pachemychka Pacman]

Возьмем число 10n+8 - Трижды умножаем на 2, обрезаем 4

Если трижды умножить на 2 - на конце будет двойка.

тогда 1 раз

[Lkob]

Возьмем число 10n+8 - Трижды умножаем на 2, обрезаем 4

Если трижды умножить на 2 - на конце будет двойка.

30n+24 получается. Сейчас доработаю.

[Илья]

Да-да, все верно.

[Lkob]

Эх, что думать?
10n+8
20n+16
30n+32
40n+64 => убираем 4-ку.

[Pachemychka Pacman]

Я докажу по-другому. Допустим, у нашего числа н десятков. Докажем, что при любом числе единиц мы можем свести это число к н.
н+1 - *2*2 и убираем 4 - получим н;
н+2 - *2 и убираем 4;
н+3 - *2*2*2 и убираем 4, *2 и убираем 4;
н+4 - и так понятно;
н+5 - ---;
н+6 - *2*2, убор 4, *2, убор 4.
И так далее.

[Кадила???]

Тут надо идти от обратного. Т.е. берем число n и надо доказать, что его можно свести до 4.
Если число нечетное, сразу умножаем на 2 - получаем четное, значит достаточно доказать для четных.
Возьмем число 10n+0 - обрезаем 0 и получаем n;
Возьмем число 10n+2 - умножаем на 2 и обрезаем 4 => 2n.
Возьмем число 10n+4 - можно получить n.
Возьмем число 10n+6 - дважды умножаем на 2, обрезаем 4.
Возьмем число 10n+8 - Трижды умножаем на 2, обрезаем 4.
  Получается, что в каждом случае число уменьшается. Т.е. проделывая вышеописаные операции, легко прийдем к 1.

Не убедили. А что делать, если после уменьшения получается нечетное число, которое оканчивается, к примеру, на девятку? Или изначально начинается на девятку, и после тройного удвоения 10n+8 получившееся число больше изначального?

[Илья]

Pachemychka Pacman , можно и так.

[Кадила???]

Все верно.

Да-да, все верно.

По-моему, Илья постоянно путает черное и белое, добро и зло, правильное и неправильное.