НОД и НОК

[Um_nik]

Решить в натуральных числах (собсно, в других эти выражения смысла не имеют))):
НОД(x,y)+НОК(x,y)=xy/5

[VVV]

  (10,10), (6,30), (30,6).

[Um_nik]

Ну это-то да, а решение?

[Sirion]

Введём обозначения: xy = a, НОД(x,y) =b
произведение НОД и НОК равно произведению самих чисел
домножим обе части уравнения на НОД, воспользуемся этим свойством, получим:
a^2-b/5*a+b=0, станем решать относительно a:
D=(b^2)/25-4b=d^2 - полный квадрат, ибо всё в целых числах
при этом (b^2)/25-4b+100=(b/5-10)^2=r^2 - также полный квадрат
отсюда 100=r^2-d^2=(r-d)(r+d)
в целых неотрицательных числах два решения:
1) r=26, d=24, отсюда b=180 и a=(36+-24)/2, a_1=30 (не подходит, тогда квадрат НОДа окажется больше произведения чисел), a_2=6 (откуда очевидно, что {x,y}={6,30})
2) r=10, d=0, b=100, a=10, откуда (x,y)=(10,10)

годная задача, я доволен

[moonlight]

мне кажется можно решить проще:
x=pr, y=qr, r=НОД(x,y)
НОК(x,y)=pqr
r+pqr=pqr^2/5
1+pq=pqr/5
1=pq(r/5-1)
или p=1, q=1, r=10
или p=1, q=5(или наоборот), r=6

[Sirion]

Таки я знаю. Просто с утра был похмелен, потому решал per rectum.