Комбинаторная геометрия, как всегда.

[Sirion]

В общем-то, эту задачку я планирую решить самостоятельно. Но пока на это нет времени, так что пущай будет в этом разделе. Кто меня опередит - тому конфету чупа-чупс.

Задача:
Можно ли выбрать на плоскости бесконечное множество точек общего положения так, чтобы треугольник с вершинами в любых трёх из них имел целую площадь?
Напоминаю, что точками общего положения на плоскости называются такие точки, что никакие три из них не лежат на одной прямой.

[Sirion]

Кхм... что-то я последние мозги уже пропил. Задача-то очевидная.

***

Сам запостил, сам решил. Сам с собою побеседовал. Вопрос: к чему мне вообще форум?

***

С другой стороны, вопрос можно поставить более широко: к чему всё это?

[Лев]

Незачем, Ты просто гений

[Sirion]

Неа. Гений - это 10% таланта и 90% упорства. А у меня 90% рас3.1415926здяйства =)

[Лев]

Пусть точки P, Q и - R середины сторон правильного треугольника
ABC. Дана некоторая точка M внутри треугольника. Эту точку отражают симметрично относительно точки P, затем уже получившуюся точку отражают симметрично относительно точки Q и, наконец, получившуюся точку отражают симметрично относительно точки R. Затем снова получившуюся точку отражают симметрично относительно точки P и т.д. Эту операцию проделывают 2011 раз. Сколько среди всех получившихся точек, расположены внутри треугольника?

[misha zotov]

Через каждые шесть отражений точка будет попадать на исходную позицию

[Sirion]

Чёрт... Действительно. Надо завязывать с зелёным, определённо.

[misha zotov]

Еще раз прикинул, вроде бы во всех случаях первые пять точек снаружи, а шестая - на исходной позиции. И траектория многократно повторяется и похожа на пятиконечную звезду.

Тогда получается, что внутри одна точка. А если считать попадание на ту же точку как новую точку, то внутри точек будет 335.

Доказать не знаю как, но это  - правильный ответ?

[Sirion]

Доказать можно, как я изначально и говорил: рассматриваем систему отсчёта, связанную с точкой, а не треугольником.

[moonlight]

В общем-то, эту задачку я планирую решить самостоятельно. Но пока на это нет времени, так что пущай будет в этом разделе. Кто меня опередит - тому конфету чупа-чупс.

Задача:
Можно ли выбрать на плоскости бесконечное множество точек общего положения так, чтобы треугольник с вершинами в любых трёх из них имел целую площадь?
Напоминаю, что точками общего положения на плоскости называются такие точки, что никакие три из них не лежат на одной прямой.

можно расположить на параболе y=2x^2. все точки с целыми x будут удовлетворять условию. кажется y=x^2 тоже подойдет.

[moonlight]

Пусть точки P, Q и - R середины сторон правильного треугольника
ABC. Дана некоторая точка M внутри треугольника. Эту точку отражают симметрично относительно точки P, затем уже получившуюся точку отражают симметрично относительно точки Q и, наконец, получившуюся точку отражают симметрично относительно точки R. Затем снова получившуюся точку отражают симметрично относительно точки P и т.д. Эту операцию проделывают 2011 раз. Сколько среди всех получившихся точек, расположены внутри
треугольника?

то что после 6 отражений точка возвращается на своё место доказывается очень просто.
пусть начальные координаты точки которая отражается (x,y), а точек относительно которых она отражается (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3). координаты точки будут меняться так:
(2x1-x,2y1-y)
(2x2-2x1+x,2y2-2y1+y)
(2x3-2x2+2x1-x,2y3-2y2+2y1-y)
(-2x3+2x2+x,-2y3+2y2+y)
(2x3-x,2y3-y)
(x,y) 

[moonlight]

если точка отражается относительно середин сторон равностороннего треугольника легко доказывается что после первых трёх отражений она внутрь треугольника попасть не может, а следовательно и после 4 и 5 не может.
6 отражение это 1 наоборот относительно(x3,y3)  и т.д.

[misha zotov]

А вот если отражать точку последовательно от сторон правильного треугольника / или от их продолжений/ , то она точно будет уходить все дальше и дальше...
Интересно, можно ли посчитать насколько она удалится от старта скажем, через 100 отражений?

[Sirion]

можно расположить на параболе y=2x^2. все точки с целыми x будут удовлетворять условию. кажется y=x^2 тоже подойдет.

да всё ещё проще
можно взять множество целых точек с чётной суммой координат

[moonlight]

можно расположить на параболе y=2x^2. все точки с целыми x будут удовлетворять условию. кажется y=x^2 тоже подойдет.

да всё ещё проще
можно взять множество целых точек с чётной суммой координат

и никакие три из них не будут лежать на одной прямой?