669-угольник

[пачти умный]

Из 2007 красных и синих отрезков составили фигуру:
один 669-угольник расположен внутри другого, соответственные
вершины соединены отрезками.
Для каждого красного отрезка подсчитали, сколько синих отрезков
имеют с ним общие концы. Может ли сумма подсчитанных чисел
быть равна 2007?

[Sirion]

Не может.

Наша сумма, если её разгруппировать - это количество пар соседних разноцветных рёбер. Сгруппируем её обратно, но уже по вершинам: для каждой вершины подсчитаем, сколько разноцветных пар рёбер ей инцидентно.

Степень каждой вершины в нашем графе равняется трём. Соответственно, в ней сходится либо три одноцветных отрезка (0 разноцветных пар), либо два одного цвета и один другого (2 разноцветные пары). Суммируя по всем вершинам, получаем чётное число, каковым 2007 не является.