Бесконечные ферзи.

[Sirion]

Можно ли расставить на бесконечной доске бесконечное число ферзей так, чтобы каждое незанятое поле били ровно четыре ферзя, но при этом ни один ферзь не бил другого?

[☭-Изделие 20Д]

Можно ли расставить на бесконечной доске бесконечное число ферзей так, чтобы каждое незанятое поле били ровно четыре ферзя, но при этом ни один ферзь не бил другого?

Интуитивно:
1-ое наверное можно. Второе врядли.

[Sirion]

Интуиция - ненадёжный советчик, ня.

[moonlight]

думаю что расставить можно так
Показать скрытый текст

выберем некоторую клетку, поставим на неё ферзя и далее будем ставить очередного ферзя на ближайшую к этой клетке пустую ненаходящуюся под боем клетку.

[Um_nik]

Показать скрытый текст

Можно.
Поставим в какую-то клетку А ферзя. Потом выберем клетку В, находящуюся на расстоянии хода коня от клетки А. Через центры клеток А и В проведем прямую. В те клетки, в которых эта прямая проходит через центры клеток, поставим ферзей. Скажем, ферзи стоят только на четных вертикалях. Тогда возьмем такую клетку, у которой нечетная вертикаль, а горизонталь еще не занята ферзем. Поставим туда ферзя и проведем прямую, параллельную первой прямой. Снова поставим ферзей в центры соответствующих клеток, если на этой горизонтали еще нет ферзя. Продолжать в обе стороны до бесконечности)
Тогда на всех вертикалях, горизонталях и диагоналях стоит по одному ферзю - каждая пустая клетка бьется один раз

[Sirion]

думаю что расставить можно так
Показать скрытый текст

выберем некоторую клетку, поставим на неё ферзя и далее будем ставить очередного ферзя на ближайшую к этой клетке пустую ненаходящуюся под боем клетку.

крайне неочевидно, что первое условие будет соблюдено

Показать скрытый текст

Можно.
Поставим в какую-то клетку А ферзя. Потом выберем клетку В, находящуюся на расстоянии хода коня от клетки А. Через центры клеток А и В проведем прямую. В те клетки, в которых эта прямая проходит через центры клеток, поставим ферзей. Скажем, ферзи стоят только на четных вертикалях. Тогда возьмем такую клетку, у которой нечетная вертикаль, а горизонталь еще не занята ферзем. Поставим туда ферзя и проведем прямую, параллельную первой прямой. Снова поставим ферзей в центры соответствующих клеток, если на этой горизонтали еще нет ферзя. Продолжать в обе стороны до бесконечности)
Тогда на всех вертикалях, горизонталях и диагоналях стоит по одному ферзю - каждая пустая клетка бьется один раз

после расстановки ферзей на первой прямой все горизонтали уже будут заняты

[☭-Изделие 20Д]

Показать скрытый текст

Можно.
Поставим в какую-то клетку А ферзя. Потом выберем клетку В, находящуюся на расстоянии хода коня от клетки А. Через центры клеток А и В проведем прямую. В те клетки, в которых эта прямая проходит через центры клеток, поставим ферзей. Скажем, ферзи стоят только на четных вертикалях. Тогда возьмем такую клетку, у которой нечетная вертикаль, а горизонталь еще не занята ферзем. Поставим туда ферзя и проведем прямую, параллельную первой прямой. Снова поставим ферзей в центры соответствующих клеток, если на этой горизонтали еще нет ферзя. Продолжать в обе стороны до бесконечности)
Тогда на всех вертикалях, горизонталях и диагоналях стоит по одному ферзю - каждая пустая клетка бьется один раз

Попробую немного оптимизировать, для начала хотябы:
От первего поставленного ферзя внизь и вверьх ходом коня в сторону удаления от начального ферзя. На сколько хватило моего мозга+память - в ближайшем пространстве походу таких положений, чтобы новый ферзь бил одного из предыдущих не видно.

[Димыч]

Вроде 2 пункт легко. Рассматриваем прямоугольники 1×3, 3×9, … , попеременно горизонтальные и вертикальные с общим центром. В следующий прямоугольник всегда можно добавить ферзей, чтобы их общее число было равно меньшей стороне. А вот чтобы еще на каждой диагонали ферзь был — надо еще подумать.

[moonlight]

Выберем некоторую клетку-центр. Выберем некоторое число D>2. В пределах круга радиуса D расставим ферзей-каждый следующий ферзь ставится на свободную ненаходящуюся под боем клетку. После того как ни одной клетки на которою можно было бы поставить ферзя не останется, окажется что в пределах этого круга некоторые пустые клетки будут под боем 1..3 ферзей. Для каждой такой клетки расставляем нужное количество ферзей за пределами этого круга. Теперь в пределах этого круга все пустые клетки будут под боем четырёх ферзей. Пусть D'-расстояние от центра до самого дальнего из ферзей. Проделываем эту процедуру для круга радиуса D' и т.д.

[Sirion]

А вот это уже правда. Но можно сделать проще: все линии (вертикали, горизонтали, диагонали) занумеровать натуральными числами, и на каждом шаге ставить ферзя на линию с наименьшим номером, на которой ещё нет ни одного ферзя.

[moonlight]

Ферзей можно расставить на двух перпендикулярных прямых. Ферзи расставленные на одной прямой при повороте вокруг точки пересечения прямых на 90^o совпадут с ферзями другой пряой. Тангенс угла наклона прямых приблизительно 1.84(-1/1.84). Расстояние между соседними ферзями может принимать значение sqrt(5), sqrt(10), sqrt(13).
Показать скрытый текст

//текст доступен после регистрации//

красные точки-ферзи, жёлтые-поля бьющиеся четырьмя ферзями.

[Sirion]

а вот за явное решение - однозначный респект)

[moonlight]

точное значение тангенса угла наклона прямой = 1.83928675521416...-корень уравнения 1+x+x²=x³