Важная новость

[fortpost]

Новости в городе Сплетнинске распространяются так: каждый житель, узнавший какую-то новость, на следующее утро делится ею с двумя горожанами, ранее ее не знавшими. В декабре семь жителей Сплетнинска независимо друг от друга узнали важную новость, и в результате к 20-му декабря эта новость стала известна 120 жителям. В какой день узнал новость первый из горожан?

[iPhonograph]

что-то с чётностью не то
7 узнали сами, а дальше все сплетни рассказываются только чётному числу слушателей
в итоге должно получиться нечётное число жителей, знающих новость
120 не получится

[fortpost]

что-то с чётностью не то
7 узнали сами, а дальше все сплетни рассказываются только чётному числу слушателей
в итоге должно получиться нечётное число жителей, знающих новость
120 не получится

В этой задаче из-за ошибки жюри в качестве правильного принимался ответ «такого не могло случиться».

А решение все ж-таки есть.

[пестерь]

рискну
Показать скрытый текст

16

[Валерий]

Показать скрытый текст

14 декабря. (в городе всего 120 жителей)

[fortpost]

рискну
Показать скрытый текст

16

Немного мимо.

[fortpost]

Показать скрытый текст

14 декабря. (в городе всего 120 жителей)

А это правильно!
Но почему в городе жителей 120?

[Валерий]

Но почему в городе жителей 120?

По моим расчетам 20-го числа новость должны знать 127 человек. 7 из них могли, скажем уехать куда-нибудь на ПМЖ, погибнуть в какой-нибудь катастрофе. Я выбрал вариант с ограниченным числом жителей.

зы Если это все не то, значит я просто угадал ответ

[fortpost]

Но почему в городе жителей 120?

По моим расчетам 20-го числа новость должны знать 127 человек. 7 из них могли, скажем уехать куда-нибудь на ПМЖ, погибнуть в какой-нибудь катастрофе. Я выбрал вариант с ограниченным числом жителей.

зы Если это все не то, значит я просто угадал ответ

Ага, понятно! В авторском решении все, начиная со 121-го узнали новость уже после 20-го. Подробности узнать хотите?

[Валерий]

Да, давайте

[fortpost]

ОК. Вот оно.
Показать скрытый текст

От одного сплетника через k дней новость узнают 2^k+2^k–1+…+2¹ человек. С самим сплетником это — 2^k+1–1 человек. Чтобы узнать, когда кто из сплетников узнал новость, надо представить число 120 в виде суммы не более чем семи чисел вида 2^a–1 или, что то же самое, число 127 в виде суммы не более 7 степеней двойки. Но последнее можно сделать единственным способом: 127 = 1+2+4+8+16+32+64. Поскольку 64 = 2⁶, первый сплетник узнал новость 6 дней назад. Отсюда — ответ. При этом последний из горожан (соответствующий меньшему из слагаемых) узнал новость уже после 20.12.

[пестерь]

 Я считал по-другому, что сплетник рассказывает новость каждый день, а не только на следующий, тогда формула будет такой 3^k, из чисел 1, 3, 9, 27 и 81, можно набрать 120 только одним способом - 81+27+9+3, тогда четверо из 7 узнали новость до 20-декабря, и трое после.

[Валерий]

  При этом последний из горожан (соответствующий меньшему из слагаемых) узнал новость уже после 20.12.[/spoiler]

Из чего это следует?

[fortpost]

Я считал по-другому, что сплетник рассказывает новость каждый день, а не только на следующий, тогда формула будет такой 3^k, из чисел 1, 3, 9, 27 и 81, можно набрать 120 только одним способом - 81+27+9+3, тогда четверо из 7 узнали новость до 20-декабря, и трое после.

Тож красиво!

[fortpost]

  При этом последний из горожан (соответствующий меньшему из слагаемых) узнал новость уже после 20.12.[/spoiler]

Из чего это следует?

Никто не знает... Подумать надо...