Матан

[Лев]

под спойлером задачи по матану (70кБ)
Показать скрытый текст

человек просит помочь с контрольной

срок - до конца недели

[fortpost]

1. e^-s(1+ds/dt)=1
e^-s+e^-sds/dt=1; (1-e^-s)dt=e^-sds; dt=e^-sds/(1-e^-s);
t=∫e^-sds/(1-e^-s)=∫d(e^-s)/(e^-s-1); t=ln(e^-s-1)+C

[fortpost]

2. x²dy=(y²-xy+x²)dx
dy/dx=y²/x²-y/x+1; z=y/x => y=xz => y'=z+xz'
z+xz'=z²-z+1; xdz/dx=z²-2z+1=(z-1)²
dz/(z-1)²=dx/x; ∫dz/(z-1)²=∫dx/x; -1/(z-1)=ln|x|+C
1/(1-y/x)=ln|x|+C

[fortpost]

3. 2xydy/dx-y²+x=0
y'-y/(2x)=-1/(2y); z=y² -> y=z^1/2 -> y'=1/2·z^-1/2z'
1/2·z^-1/2z'-1/(2x)·z^1/2=-1/2·z^-1/2
z'-z/x=-1; t=z/x -> z=xt -> z'=t+xt'
t+xt '-t =-1 -> xdt/dx=-1 -> dt=-dx/x -> t=-ln|Cx|
z=xt=-xln|Cx|; y=z^1/2=(-xln|Cx|)^1/2

[fortpost]

4. (3x²tgy-2y³/x³)dx+(x³/cos²y+4y³+3y²/x²)dy=0
P(x,y)=3x²tgy-2y³/x³, Q(x,y)=x³/cos²y+4y³+3y²/x²
∂P/∂y=3x²/cos²y-6y²/x³
∂Q/∂x=3x²/cos²y-6y²/x³
∂P/∂y≡∂Q/∂x
∂U/∂x=3x²tgy-2y³/x³
∂U/∂y=x³/cos²y+4y³+3y²/x²
U(x,y)=∫(3x²tgy-2y³/x³)dx+φ(y)=x³tgy+y³/x²+φ(y)
∂U/∂y=x³/cos²y+3y²/x²+φ'_y(y)
x³/cos²y+3y²/x²+φ'_y(y)=x³/cos²y+4y³+3y²/x² -> φ'_y(y)=4y³
φ(y)=∫4y³dy=y⁴+C
U(x,y)=x³tgy+y³/x²+y⁴+C -> x³tgy+y³/x²+y⁴+C=0

[fortpost]

5. xdt-(t-√(t²-x²))dx=0, t(1)=1
dt/dx-(t/x-√(t²/x²-1))=0
z=t/x, t=xz, t'=z+xz'
z+xz'=z-√(z²-1), xdz/dx=-√(z²-1)
dz/√(z²-1)=-dx/x, ∫dz/√(z²-1)=-∫dx/x
ln(z+√(z²-1))=ln|C/x|
z+√(z²-1)=C/x, t/x+√(t²/x²-1)=C/x
t+√(t²-x²)=C
t(1)=1 -> 1+√(1²-1²)=C -> C=1
t+√(t²-x²)=1

[fortpost]

1.

а) lim (12-3x²)/(x²+x-2)=(12-0)/(0+0-2)=12/-2=-6
    x→0

б) lim (12-3x²)/(x²+x-2)=0/0 → lim 3(2-x)(2+x)/(x+2)(x-1)=
    x→-2                                        x→-2
    lim (6-3x)/(x-1)=(6-3(-2))/(-2-1)=-4
    x→-2

в) lim (12-3x²)/(x²+x-2)=∞/∞ →  lim (12/x²-3)/(1+1/x-2/x²)=-3
    x→∞                                           x→∞

[fortpost]

1.

г) lim (1-cos²3x)/5x²=0/0 → lim sin²3x/5x²=
    x→0                                    x→0
lim sin²3x/(5/9)9x²=lim (sin3x/3x)²/(5/9)=1/(5/9)=9/5
x→0                          x→0

д) lim ((x-2)/x)^3x=lim (1-2/x)^3x=1^∞ → lim [(1+1/x/(-2))^x/(-2)]^3(-2)=e^-6
    x→∞                  x→∞                         x→∞

е) lim (x²-5x-6)/(2-√(x+5))=0/0 → lim (x²-5x-6)(2+√(x+5))/((2-√(x+5))(2+√(x+5))=
    x→-1
lim (x²-5x-6)(2+√(x+5))/-(x+1)=lim (x+1)(x-6)(2+√(x+5))/-(x+1)=-(-1-6)(2+√(-1+5))=28
x→-1                                              x→-1

[fortpost]

6. y+xy'=3y²y', y(1)=1

y+xdy/dx=3y²dy/dx, ydx/dy+x=3y², yx'+x=3y²
x'+x/y=3y, x=Ce^-∫dy/y=Ce^-lny=C/y
x=C(y)/y, (C(y)/y)'+C(y)/y²=3y, (C'(y)y-C(y))/y²+C(y)/y²=3y
C'(y)/y=3y, C'(y)=3y², C(y)=∫3y²dy=y³+C₁
x=(y³+C₁)/y
y(1)=1, 1=(1+C₁)/1, C₁=0
x=y²

[☭-Изделие 20Д]

 ненавижу пределы, но ИИ проверил первую половину
Показать скрытый текст

и вторую 
Показать скрытый текст

[fortpost]

7. (2xy+3y⁴)dx+(x²+12xy³)dy=0, y(1)=1

P(x,y)=2xy+3y⁴
Q(x,y)=x²+12xy³
∂P/∂y=2x+12y³
∂Q/∂x=2x+12y³
∂P/∂y≡∂Q/∂x
∂U/∂x=2xy+3y⁴
∂U/∂y=x²+12xy³
U(x,y)=∫(2xy+3y⁴)dx+φ(y)=x²y+3xy⁴+φ(y)
∂U/∂y=x²+12xy³+φ'_y(y)
x²+12xy³+φ'_y(y)=x²+12xy³
φ'_y(y)=0, φ(y)=∫0dy=C
U(x,y)=x²y+3xy⁴+C
x²y+3xy⁴+C=0, y(1)=1
1·1+3·1·1+C=0 → C=-4
x²y+3xy⁴-4=0

[Ленка Фоменка]

Всем привет!

Есть еще 2 дня для решения данных задачек.
Очень прошу помочь кто чем сможет!
Осталось:
Вариант 24: Задания 8-19
Вариант2: Задание 4
 

[семеныч]

 

с новым
  старым
новым
 годом

 

[fortpost]

8. y''+y'tgx-sin2x=0

y'=p(x)
y''=p'(x)

p'+ptgx-sin2x=0
p'+ptgx=sin2x

p'+ptgx=0
p=Ce^-∫tgxdx=Ce^ln|cosx|=Ccosx

p=C(x)cosx
(C(x)cosx)'+C(x)cosxtgx=sin2x
C'(x)cosx-C(x)sinx+C(x)sinx=sin2x
C'(x)cosx=2sinxcosx
C'(x)=2sinx
C(x)=∫2sinxdx=-2cosx+C₁
p=(-2cosx+C₁)cosx=C₁cosx-2cos²x

y=∫pdx=∫(C₁cosx-2cos²x)dx=∫C₁cosxdx-∫2cos²xdx=C₁sinx-∫2cos²xdx=
C₁sinx-∫(1+cos2x)dx=C₁sinx-x-(1/2)sin2x+C₂

[fortpost]

9. xy'''+y''=x^-1/2

y''=p(x)
y'''=p'(x)

xp'+p=x^-1/2
p'+p/x=x^-3/2

p'+p/x=0
p=Ce^-∫dx/x=Ce^-ln|x|=C/x

p=C(x)/x
(C(x)/x)'+C(x)/x²=x^-3/2
C'(x)/x-C(x)/x²+C(x)/x²=x^-3/2
C'(x)=x^-1/2
C(x)=∫x^-1/2dx=2x^1/2+C₁

p=(2x^1/2+C₁)/x=2x^-1/2+C₁/x

y'=∫pdx=∫(2x^-1/2+C₁/x)dx=4x^1/2+C₁ln|x|+C₂
y=∫y'dx=∫(4x^1/2+C₁ln|x|+C₂)dx=(8/3)x^3/2+C₁(xln|x|-x)+C₂x+C₃