Исследовать и построить график данной функции.

[СашаKhk]

Исследовать и построить график данной функции
1) y=arcctglnx
2) y=ln^2 x
    -----------
         x^2

1. Область определения D(y).

2. Четность, нечетность функции.

3. Периодичность

4. Точки пересечения с осями.

5. Экстремумы и интервалы монотонности.

6. Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.

7. Асимптоты функции.

8. График функции.

9. Область допустимых значений E(y) функции

[fortpost]

1) y=arcctglnx


1. Область определения D(y).
D(y)=(0; +∞)

2. Четность, нечетность функции.
f(-x)=arcctgln(-x)≠f(x)≠-f(x) (не существует при x≤0) - функция общего вида (ни четная, ни нечетная)

3. Периодичность.
f(x)≠f(x+T) ни при каком Т>0 - функция непериодическая

4. Точки пересечения с осями.
с осью Oy: x=0 → y=arcctgln0 - не существует
с осью Ox: y=0 → arcctglnx=0 - корней нет

5. Экстремумы и интервалы монотонности.
y'=-1/(1+x²); y'=0 - корней нет (экстремумы отсутствуют)
0<x<+∞ → y'<0 - функция убывает

6. Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.
y''=2x/(1+x²)²; y''=0 - корней нет (перегибы отсутствуют)
0<x<+∞ → y''>0 - функция вогнута

7. Асимптоты функции.
Вертикальных асимптот нет (отсутствуют точки разрыва)
Горизонтальные асимптоты
lim f(x)=lim arcctglnx=0
^{x→∞        x→∞}
Горизонтальная асимптота x=0
Наклонные асимптоты
k=lim f(x)/x=lim arcctglnx/x=0
Наклонных асимптот нет

8. График функции.



9. Область допустимых значений E(y) функции
E(y)=(0; π)

[fortpost]

          ln²x
2) y=------
           x²


1. Область определения D(y).
D(y)=(0; +∞)

2. Четность, нечетность функции.
          ln²(-x)
f(-x)=--------≠f(x)≠-f(x) (не существует при x≤0) - функция общего вида (ни четная, ни нечетная)
            (-x)²

3. Периодичность.
f(x)≠f(x+T) ни при каком Т>0 - функция непериодическая

4. Точки пересечения с осями.
                                   ln²0
с осью Oy: x=0 → y=------ - не существует
                                     0²
                               ln²x
с осью Ox: y=0 → ------=0 - x=1
                                x²

5. Экстремумы и интервалы монотонности.
     2xlnx-2xln²x    2lnx(1-lnx)
y'=--------------=-------------; y'=0 - x₁=1, x₂=e
             x⁴                  x³
0<x<1 → y'<0 - функция убывает
1<x<e → y'>0 - функция возрастает
e<x<+∞ → y'<0 - функция убывает
В точке x=1 производная меняет знак с (-) на (+) - минимум
В точке x=e производная меняет знак с (+) на (-) - максимум

6. Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.
      2x²-4x²lnx-6lnx(1-lnx)x²   2-4lnx-6lnx(1-lnx)   2-10lnx+6ln²x
y''=---------------------------=--------------------=-----------------; y''=0 - x_1,2=e^(5±√13)/6
                        x⁶                              x⁴                           x⁴
0<x<e^(5-√13)/6 → y''>0 - функция вогнута
e^(5-√13)/6<x<e^(5+√13)/6 → y''<0 - функция выпукла
e^(5+√13)/6<x<+∞ → y''>0 - функция вогнута
В точке x=e^(5-√13)/6 вторая производная меняет знак с (+) на (-) - перегиб
В точке x=e^(5+√13)/6 вторая производная меняет знак с (-) на (+) - перегиб

7. Асимптоты функции.
Вертикальная асимптота x=0
Горизонтальные асимптоты
                    ln²x
lim f(x)=lim ------ = 0
^{x→∞        x→∞}   x²
Горизонтальная асимптота y=0
Наклонные асимптоты
                            ln²x
k=lim f(x)/x=lim ------ = 0 - наклонных асимптот нет
     ^{x→∞             x→∞}   x³

8. График функции.



9. Область допустимых значений E(y) функции
E(y)=(0; +∞)