зубодробительские для Репки

[nikolai55]

1. допустим у нас есть число  А и назовем мы его полуквадратом.
если мы его  соединим с таким же то получим новое число - квадрат

А - полуквадрат
АА- квадрат

есть ли?
какое наименьшее?

[nikolai55]

2.

    3      3       3            3
 3    +4    + 5     =    6


   3        3       3        3              3                   
6    +  7    + 8   +   9   + ..... +?     = куб числа

последовательные натуральные числа

[nikolai55]

3. квадрат числа состоящий только из 7 8 9


раз Репке неохота - может найдутся желающие?

[General]

1. Приписыванием числа A к себе мы его умножаем на 100...01, где количество нулей на 1 меньше количества цифр в А. Если АА=А*100...01 - полный квадрат, то все простые множители этого числа должны входить в него в чётных степенях. Поэтому нужно найти числа 100..01, которые делились бы на некоторое p^2. И тогда A=10..01/p^2.
Но тут мы сталкиваемся с ограничением на количество цифр: в А должно быть ровно на 1 цифру меньше, чем в 100..01. Значит p^2=4 или 9. Но ни одно из чисел 100..01 ни на 4, ни на 9 не делятся, значит полуквадратов не существует.
Если рассматривать "числа" с нулевыми первыми разрядами, то таковым может быть 00826446281. Будучи записанным дважды подряд, оно даёт  0082644628100826446281=9090909091^2

Следующим будет
018838304552590266876018838304552590266876

[nikolai55]

//текст доступен после регистрации//



какое наименьшее  интересно

[General]

Аааа, понял свою ошибку: число А-то тоже может иметь в своём разложении квадрат некоторого простого, который скомпенсирует нехватку цифр. В данном случае
20661157025=826446281*5^2

Наименьшим будет
13223140496=826446281*4^2

Полуквадраты, которые получатся из разложений чисел с бОльшим количеством нулей между двумя единицами, будут иметь больше цифр. Значит 13223140496 - наименьшее

[General]

2.
6^3+...+30^3=60^3
6^3+...+45^3=180^3

[nikolai55]

2.
6^3+...+30^3=60^3
6^3+...+45^3=180^3

               3       3              3         3
уменя   6   +  7   + ......69 = 180

почему-то?

[General]

проверил ещё раз первое - сошлось
6^3+...+30^3=1^3+...+5^3+6^3+...+30^3-(1^3+...+5^3)=(1+...+30)^2-225=(15*31)^2-225=216000=60^3

А по второму точно, я сглупил, число 4830=2*3*5*7*23 разбил не как 69*70, а как 46*45