Олимпиадная задачка 9 класс

[Rostislav]

В клетках квадрата 5x5 изначально были записаны нули. Каждую минуту Вася выбирал две клетки с общей стороной и либо прибавлял по единице к числам в них, либо вычитал из них по единице. Через некоторое время оказалось, что суммы чисел во всех строках и столбцах равны. Докажите, что это произошло через четное число минут.

[Elektri4ka]

я видимо чего-то не догоняю. получается у меня за 5 минут...
0 0 0 0 0   1 0 0 1 0   1 0 0 1 0   1 0 0 1 0   1 0 0 1 0   1 0 0 1 0
0 0 0 0 0   0 0 0 0 0   0 1 0 0 1   0 1 0 0 1   0 1 0 0 1   0 1 0 0 1
0 0 0 0 0   0 0 0 0 0   0 0 0 0 0   1 0 1 0 0   1 0 1 0 0   1 0 1 0 0
0 0 0 0 0   0 0 0 0 0   0 0 0 0 0   0 0 0 0 0   0 1 0 1 0   0 1 0 1 0
0 0 0 0 0   0 0 0 0 0   0 0 0 0 0   0 0 0 0 0   0 0 0 0 0   0 0 1 0 1

или под фразой "две клетки с общей стороной" подразумевается, что  можно менять клетки только по 4м внешним сторонам?

[Rostislav]

Elektri4ka

Немного не так рассуждаешь...

Соседние клетки - это соседние клетки, а не через одну как у тебя!

0 0 0 0 0  0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0   0 0 0 0 0  
0 0 0 0 0   0 0 0 0 0  
0 0 0 0 0   0 0 0 0 0  
0 0 0 0 0   0 0 0 0 0

Соседние клетки!

[tigra_7]

Не уверен, что где-то не допустил просчёт, но всё же.

Раскрасим квадрат в чёрно-белые цветы, а-ля шахматная доска. Пусть угловые клетки окрашены в чёрный цвет, т.о. мы имеем 13 чёрных и 12 белых квадратиков.

1. Сумма чёрных и белых клеток не меняется (поскольку каждую итерацию мы меняем одновременно и чёрную, и белую клетку) и остаётся равной (поскольку была равной вначале) на протяжении всех Васиных  изменений. 
2. Из этого следует, что сумма всех чисел в квадрате чётна в любую минуту (поскольку делится поровну между чёрными и белыми клетками).
3. Ну и последний аккорд. Сумма в чисел квадрате - равна 13Ч + 12 Б, значит сумма всех чёрных клеток чётна, а чётность чёрных клеток неизменна каждые 2 минуты. А поскольку изначально она была чётная, то значит и будет чётна лишь каждую чётную минуту.