Задача на комбинаторику

[Л.К.Вольфхарт]

Майкл
 Ну вроде все разрешили))

Вот я тут подумал может так нагляднее:
40+35+28=103 мест в классах
12+7+6+4=29 учеников знающих несколько языков
 теперь вычитаем из числа мест учащихся-двойников и тройников
103-(12а+12н=24)=79-(7а+7ф=14)=65-(6н+6ф)=53-(4а+4н+4ф=12)=41
41+29=70 человек личностного состава )

[Michael]

Майкл
 Ну вроде все разрешили))

Вот я тут подумал может так нагляднее:
40+35+28=103 мест в классах
12+7+6+4=29 учеников знающих несколько языков
 теперь вычитаем из числа мест учащихся-двойников и тройников
103-(12а+12н=24)=79-(7а+7ф=14)=65-(6н+6ф)=53-(4а+4н+4ф=12)=41
41+29=70 человек личностного состава )

Что-то тут не так, надо подумать. Надо посмотреть на диаграмме Smithа.

[Тиана]

новое понятие -  "диаграмма Смита", надо отметить 

[Smith]

новое понятие -  "диаграмма Смита", надо отметить 

просто когда ребенок учил комбинаторику, я с ним ходил на занятия, и там именно так учили решать подобные задачи. я бы не стал заострять внимание на способе решения, но мне казалось, что ТС (matematiks777) мог не понять объяснения, предложенные в цифрах. так что диаграмма не моя, более того, она имеет название - диаграмма Венна

такие дела

[Марта Чернова]

Наверно, как-то не шибко логично выглядят рассуждения, но: мест - 103, все три языка знают 4 студента. Значит, английский изучают (40-4трилингва) человек, немецкий - (35-4трилигнва), французский - (28-4 трилингва). При условии, что эти 4 знающих 3 языка человека ещё и изучают их. Тогда получается, что изучающих языки человек (103-12). Ни одного языка из указанных не изучает 9 человек.
Если же эти 4 человека не изучают языки, а просто их знают, то тогда...
Тогда фиг знает, надо ещё подумать:)

[Smith]

Марта, я не знаю у кого, сколько и каких "мест" но человек всего 100, правильно? а складывать 40, 35 и 28 - неправильно, поскольку, как сказано в условии, часть людей изучают 2 или 3 языка

зы: или я Вас не понял

[matematiks777]

Я понял объяснения.Токо на счет правильности думаю что 30.Просто такая задача у меня на КР была,не кто не смог решить,вот и решил Вас попросить помочь.Спасибо за помощь.Ответ на счет правильности задачи напишу позже.

[Л.К.Вольфхарт]

А где это такие задачи никто не решает???

[Michael]

Вы считаете. что:
а)это наглядно?
б)это правильно?

зы:проста спрасил 

Согласен что не наглядно. Можно  вот так. (можно читать и смотреть на диаграмму со 2-й страницы)

Поставим проще задачу: сколько студентов изучает английский и французский?
Английский учат 40, французский учат 28, значит сложим 40+28=68. Но это будет неправильно, так как 7 студентов учит английский и французский. Они входят и в 40 и в 28, значит мы их посчитали 2 раза, один-лишний, и один  раз их надо отнять.
Значит, правильный ответ = 40 + 28 - 7 =61 изучают или французский или английский или оба.

Наша задача сложнее : сколько студентов изучает английский, французский и немецкий?
английский язык изучают 40 человек, немецкий-35, французский-28, значит сложим
40+35+28=103. Опять, это слишком много.
7 англофранцузов входят и в 40 и в 28, и один  раз их надо отнять.   
12 англонемцев входят и в 40 и в 35, и один  раз их надо отнять.
6 французонемцев входят и в 28 и в 35, и один  раз их надо отнять.
Получаем 40+35+28-7-12-6= 78.
Теперь получилось слишком мало. У нас есть 4 трёхязычника. Что произошло с ними?
они входят и в +40 и в +35 и в +28 и в -7 и в -12 и в -6 . Значит мы их прибавили 3 раза и отняли 3 раза =0.  То есть в 78 они не вошли ни разу. Надо их прибавить 1 раз.
Получается 78+4=82. Или 40+35+28-7-12-6+4=82.
100-82=18.
С тремя языками ещё можно нарисовать диаграмму, а если их больше, то замучаешься  рисовать.

[Michael]

...

[Smith]

Майкл, убегаю на работу, поэтому не могу проверить сейчас, посмотрю чуть позже, но, мне кажется, вы просто переписали свое предыдущее решение. а ответ то действительно 30:
1)17+13+11+7+6+12+4=70
2)100-70=30

 а у Вас?

[Л.К.Вольфхарт]

Вы считаете. что:
а)это наглядно?
б)это правильно?

зы:проста спрасил 

Согласен что не наглядно. Можно  вот так. (можно читать и смотреть на диаграмму со 2-й страницы)

Поставим проще задачу: сколько студентов изучает английский и французский?
Английский учат 40, французский учат 28, значит сложим 40+28=68. Но это будет неправильно, так как 7 студентов учит английский и французский. Они входят и в 40 и в 28, значит мы их посчитали 2 раза, один-лишний, и один  раз их надо отнять.
Значит, правильный ответ = 40 + 28 - 7 =61 изучают или французский или английский или оба.

Наша задача сложнее : сколько студентов изучает английский, французский и немецкий?
английский язык изучают 40 человек, немецкий-35, французский-28, значит сложим
40+35+28=103. Опять, это слишком много.
7 англофранцузов входят и в 40 и в 28, и один  раз их надо отнять.   
12 англонемцев входят и в 40 и в 35, и один  раз их надо отнять.
6 французонемцев входят и в 28 и в 35, и один  раз их надо отнять.
Получаем 40+35+28-7-12-6= 78.
Теперь получилось слишком мало. У нас есть 4 трёхязычника. Что произошло с ними?
они входят и в +40 и в +35 и в +28 и в -7 и в -12 и в -6 . Значит мы их прибавили 3 раза и отняли 3 раза =0.  То есть в 78 они не вошли ни разу. Надо их прибавить 1 раз.
Получается 78+4=82. Или 40+35+28-7-12-6+4=82.
100-82=18.
С тремя языками ещё можно нарисовать диаграмму, а если их больше, то замучаешься  рисовать.

Ошибка в том что 4-х студентов зачислили и в двуязычники. Они отдельная категория. В том и смысл что изветно количество человек по отдельным предметам, но не в целом. И известно кто сколько создает "фантомов". Следовательно 4 нужно не прибавлять, а вычетать. Причем 2 раза. Как доказательство обратите внимание что у вас логически получается физически меньше человек-студентов которые изучают языки - на 12 человек (так как 4 не отнесли к отдельной категории а включили их в ряды билингвистов. Следовательно каждый из них занимает по 4 места в каждой категории. Оставим их, 4-х особняком но вычтем лишних из рядов билингвов- в чем фишка?4ан+4аф+4фн=12 лишних). При этом почему то получилось по формуле на 12 человек (по сравнению с альтернативной формулой) физически больше. Как?

[General]

Вы решаете 2 разные задачи.
Если бы в условии было сказано:

Из 100 студентов только английский язык изучают 40 человек, тольконемецкий-35, только французский-28, только английский и немецкий-12, только английский и французский-7, только немецкий и французский-6, все три языка знают 4 студента.Сколько студентов не знают ни одного из этих языков ?

То нужно из 100 вычитать сумму всех чисел.

а в текущей формулировке, как указал Михаель, верна формула 40+35+28-12-7-6+4=82 - столько студентов изучает хотя бы один язык. Можно свериться с диаграммой Смита (кругами Эйлера)

[Л.К.Вольфхарт]

Вы решаете 2 разные задачи.
Если бы в условии было сказано:

Из 100 студентов только английский язык изучают 40 человек, тольконемецкий-35, только французский-28, только английский и немецкий-12, только английский и французский-7, только немецкий и французский-6, все три языка знают 4 студента.Сколько студентов не знают ни одного из этих языков ?

То нужно из 100 вычитать сумму всех чисел.

а в текущей формулировке, как указал Михаель, верна формула 40+35+28-12-7-6+4=82 - столько студентов изучает хотя бы один язык. Можно свериться с диаграммой Смита (кругами Эйлера)

В условии не могло быть сказано только А - 40, Н - 35 и т.д. Иначе это противоречило бы условиям в 100 человек. Очевидно что первые цифры - уровень посещаемости. Остальные - учебный график студентов.
 Теперь сам вопрос - а входят ли 4 в группы изучающие два языка? Тут честно признаюсь не все так просто. С одной стороны да, входят - если конечно вопрос с подвохом ) Но тогда формула /40+35+28-12-7-6+4=82/ ошибочна, т.к. при условии не вхождения 4-х в билингвистическую группу /40+35+28-12-7-6-4-4=70/ получаеться парадокс - при меньшем количестве человек в классах (По 4 в 3-х классах мы убрали) получаем в итоге большее количество учеников, которые изучают иностранные языки.
 А ошибка наверное вот в чем.
40+35+28+103 - всего
Далее вычитаем фантомов билингвистов.
103-12-7-6=78+4
Но это неправильно! Мы учли что по 4 в 12АН-7АФ-6НФ.  Но мы забыли об остальных - тех кто изучает ТОЛЬКО 2 языка. /12-4=8. 7-4=3. 6-4=2/
 Сейчас продолжу анализ после перерыва)

[Л.К.Вольфхарт]

Итак. Далее, следуя формальной логике то в ответ 70 человек изучающих язык нужно внести поправки - из 70 вычитаем фантомов - 4АН - 4АФ - 4НФ = 58.
78+4+8+3+2=95
95-58=37
 Вопрос закономерен - откуда 37 человек разницы?