Взбалмошная старушка среди вежливых пассажиров

[buka]

ок. индукция, так индукция.
предположим, есть всего 4 человек, включая старушку. тогда старушка с вероятностью 3/4 займет не свое место(1). следующий пассажир с вероятностью 2/3 окажется не тот, чье место заняла старушка(2), и войдя займет свое собственное место(3). из двух оставшихся, пассажир, чье место заняла старушка войдет следующим с вероятностью 1/2 (4), и с той же вероятностью 1/2 он займет место старушки (5).
следовательно, вероятность того, что при данном раскладе, оставшийся чел займет свое место, указанное в его билете составляет 3/4*2/3*1/2*1/2=1/8 (6). по аналогии, для 101 пассажира ответ будет 1/202, или чуть меньше 0.5% (7).
 

У первого за старушкой пассажира вероятность занять своё место равно 3/4.
Вы опять забываете что старушка с равной в-тью 1/4 может занять любое место (в т.ч. и своё) и лишь одно из них - это место первого за ней.
Но дело даже не в этом. 4 человека - уже слишком много.
Начните с меньшего числа, скажем, с 1-го, кроме старушки. Это будет тривиально.
Затем - с двух. И Вы заметите очень интересную вещь
Удачи.

[kinder]

ответ 50%
нашел ошибку в алгоритме - старуха могла стоять в любом месте очереди

[buka]

Правльно

[Smith]

У первого за старушкой пассажира вероятность занять своё место равно 3/4.
Вы опять забываете что старушка с равной в-тью 1/4 может занять любое место (в т.ч. и своё) и лишь одно из них - это место первого за ней.
Но дело даже не в этом. 4 человека - уже слишком много.
Начните с меньшего числа, скажем, с 1-го, кроме старушки. Это будет тривиально.
Затем - с двух. И Вы заметите очень интересную вещь
Удачи.

buka, теперь кажется ни что не мешает дать полный ответ с объяснением и расчетом.
если пассажира два включая старушку, то старушка с вер-ю 1/2 занимает место оставшегося пассажира, либо свое и в этом случае ответ 1/2.
если пассажиров три, то, следуя Вашей логике старушка с вероятностью 1/3 занимает место пассажира, идущего за ней, т.е. у него вер-ть занять свое место 2/3. а дальше каков ход Ваших рассуждений?
вобщем, если Вам не трудно дайте пожалуйста полный ответ, чтобы был предмет обсуждения или возможно тогда вопросы отпадут сами собой.
кстати, спасибо за задачу

[kinder]

для троих:
вероятность что старушка сядет на своё место 1/3
вероятность что на другие два 2/3
тогда вероятность того что последний сядет на своё место:
1/3+2/3*(1/2*0+1/2*(1/2)) = 1/2;

где 1/2*0 - когда старуха садится на место первого
1/2*(1/2) - когда на место второго и при этом второй сядет на место старушки

Для четверых:

1/4 + 3/4(1/3*0+1/3*(1/2)+X)

1/3*(1/2) - села на место второго
где X - села на место третьего

X = 1/3*(1/3+2/3(1/2*0+1/2*1/2)) = 1/6
считается аналогично рассуждению для троих

1/4 + 3/4(1/3*0+1/3*(1/2)+1/6) = 1/2

кто хочет записать для пятерых ?

[Smith]

признаться, я не совсем понял ход Ваших рассуждений, поэтому не могу объективно оценить правильность решения, хотя ответ 1/2 действительно получается в 99 случаях из 101.
в своих расчетах я использовал теорему Байеса, т.е. попытался рассчитать с какой вероятностью пассажир, следующий за старушкой, займет место пассажира, следующего за ним, при условии, что старушка займет место следующего за ней пассажира.
вот пример для троих (старушка С, пассажир, следующий за старушкой П2, и последний пассажир П3):

                Р(С|П2)*Р(П2)            1*(1/3*1/2)
Р(П2|С)=----------------------- = ------------------- = 1/2
                       Р(С)                            1/3

для остальных 98 случаев рассчитывается аналогично, и (хотя промежуточные варианты меняются) конечный результат так же 1/2.

однако остается еще 2 случая:
1)старушка садится на свое место, и тогда ответ 1;
2)старушка садится на место последнего, и тогда результат 0.

можно ли теперь утверждать, что ответ однозначно 1/2 для всех 101 возможных вариантов размещения старушки? 

[Димыч]

Легко доказывается по индукции.
Если после старушки 1 пассажир, очевидно, вероятность 1/2.
Предположим, что вероятность 1/2 во всех случаях, когда пассажиров меньше N, и найдем ее для случая N пассажиров.
С вероятностью 1/(N+1) старушка займет свое место и последний пассажир займет свое место с вероятностью 1.
С вероятностью 1/(N+1) старушка займет место последнего пассажира и он займет свое место с вероятностью 0.
С вероятностью (N-1)/(N+1) старушка займет место другого пассажира. Пусть после этого пассажира в очереди еще K пассажиров (0<K<N). Тогда, когда очередь дойдет до этого пассажира, в точности повторится ситуация, когда после старушки K пассажиров. Действительно, если в этот момент старушка уступит ему его место и опять начнет выбирать место случайно, с точки зрения остальных пассажиров по сути ничего не изменится. Значит, по предположению индукции, последний пассажир займет свое место с вероятностью 1/2.
Итого 1/(N+1)+1/2*(N-1)/(N+1)=1/2.
Кстати, здравствуйте.

[buka]

У первого за старушкой пассажира вероятность занять своё место равно 3/4.
Вы опять забываете что старушка с равной в-тью 1/4 может занять любое место (в т.ч. и своё) и лишь одно из них - это место первого за ней.
Но дело даже не в этом. 4 человека - уже слишком много.
Начните с меньшего числа, скажем, с 1-го, кроме старушки. Это будет тривиально.
Затем - с двух. И Вы заметите очень интересную вещь
Удачи.

buka, теперь кажется ни что не мешает дать полный ответ с объяснением и расчетом.
если пассажира два включая старушку, то старушка с вер-ю 1/2 занимает место оставшегося пассажира, либо свое и в этом случае ответ 1/2.
если пассажиров три, то, следуя Вашей логике старушка с вероятностью 1/3 занимает место пассажира, идущего за ней, т.е. у него вер-ть занять свое место 2/3. а дальше каков ход Ваших рассуждений?
вобщем, если Вам не трудно дайте пожалуйста полный ответ, чтобы был предмет обсуждения или возможно тогда вопросы отпадут сами собой.
кстати, спасибо за задачу

Smith, Димыч дал решение. Кроме того, в Ваших рассуждениях тоже как будто должно получиться 1/2.
Я с радостью постараюсь пояснить, что Вам неясно - но пока мне не совсем понятно, что Вам неясно.

[Smith]

Smith, Димыч дал решение. Кроме того, в Ваших рассуждениях тоже как будто должно получиться 1/2.
Я с радостью постараюсь пояснить, что Вам неясно - но пока мне не совсем понятно, что Вам неясно.

buka, я к сожалению не понимаю до конца общий ответ..    не оспариваю, поймите. недопонимаю..
ну вот если рассмотреть ту же задачу но с тремя человеками включая старушку, то вот какие ответы получаются:
1) бабуля заняла место свое, и вер-ть в ответе 1
2)заняла место следующего за ней пассажира и вер-ть 1/2
3)а если место последнего пассажира - вер-ть 0

результат: ответ задачи - 1/2. я этого не понимаю до конца... тоесть, как получили 1) 2) и 3) - понятно и нет проблем. а общий ответ... объясните пожалуйста, почему с учетом 1) 2) и 3) получается в результате 1/2. почему, к примеру ответ не звучит примерно так, что в 99 случаях из 101 это вер-ть 1/2, в 1 из 101 =1 и в 1 из 101 = 0 

[buka]

Smith, Димыч дал решение. Кроме того, в Ваших рассуждениях тоже как будто должно получиться 1/2.
Я с радостью постараюсь пояснить, что Вам неясно - но пока мне не совсем понятно, что Вам неясно.

buka, я к сожалению не понимаю до конца общий ответ..   не оспариваю, поймите. недопонимаю..
ну вот если рассмотреть ту же задачу но с тремя человеками включая старушку, то вот какие ответы получаются:
1) бабуля заняла место свое, и вер-ть в ответе 1
2)заняла место следующего за ней пассажира и вер-ть 1/2
3)а если место последнего пассажира - вер-ть 0

результат: ответ задачи - 1/2. я этого не понимаю до конца... тоесть, как получили 1) 2) и 3) - понятно и нет проблем. а общий ответ... объясните пожалуйста, почему с учетом 1) 2) и 3) получается в результате 1/2. почему, к примеру ответ не звучит примерно так, что в 99 случаях из 101 это вер-ть 1/2, в 1 из 101 =1 и в 1 из 101 = 0 

Вероятность наступления каждого из событий 1), 2), 3) равна 1/3 - с этим Вы согласны, я думаю.
Тогда общая вероятность равна:
(1/3 * 1) + (1/3 * 1/2) + (1/3 * 0) = 1/3 + 1/6 = 1/2.
Для М пассажиров:
1) С вероятностью 1/(М+1) старушка садится на своё место. Тогда последний пассажир садится на своё место с в-тью = 1
2) С вероятностью (М-1)/(М+1) старушка садится на не своё и не последнего пассажира место. Тогда последний пассажир садится на своё место с в-тью = 1/2
3) С вероятностью 1/(М+1) старушка садится на место последнего. Тогда последний пассажир садится на своё место с в-тью = 0
Тогда общая вероятность равна:
(1/(М+1) * 1) + ((М-1)/(М+1) * 1/2) + (1/(М+1) * 0) = 1/(М+1) * (1 + (М-1)/2) = 1/(М+1) * (2 + М - 1)/2 = 1/(М+1) * (М+1)/2 = 1/2.

[Smith]

Тогда общая вероятность равна:
(1/3 * 1) + (1/3 * 1/2) + (1/3 * 0) = 1/3 + 1/6 = 1/2.

не сердитесь, плз, и спасибо за повторное объяснение, приведенное также и Димычем, логику объяснения я понял давно, и больше не стану задавать один и тот же вопрос. просто я помню, что не всегда можно так вольно обращаться с вероятностями, как в цитате выше. более того, в ряде случаев это абсолютно недопустимо. я понял что в данном случае это допустимо и правильно. спасибо за Ваше терпение и еще раз за задачу.

[buka]

Тогда общая вероятность равна:
(1/3 * 1) + (1/3 * 1/2) + (1/3 * 0) = 1/3 + 1/6 = 1/2.

не сердитесь, плз, и спасибо за повторное объяснение, приведенное также и Димычем, логику объяснения я понял давно, и больше не стану задавать один и тот же вопрос. просто я помню, что не всегда можно так вольно обращаться с вероятностями, как в цитате выше. более того, в ряде случаев это абсолютно недопустимо. я понял что в данном случае это допустимо и правильно. спасибо за Ваше терпение и еще раз за задачу.

Я не сержусь, что Вы
Вероятности - штуки дейстительно очень коварные, Вы правы.
Но если мы можем разбить события на взаимоисключающие, мы можем вероятности этих событий (условий) умножать на вероятность целевого события нутри этого условия, а затем складывать такие кусочки.
Но условие взаимной исключаемости должно соблюдaться.

[buka]

Кстати, у меня есть решение без применения матиндукции.

[Лев]

Просим

[buka]

Итак, решение без индукции.
1. Для старушки вероятность сесть на своё место равно вероятности сесть на место последнего.
2. Если старушка садится ни на своё и ни на последнего, то пассажир, чьё место она заняла начинает вести себя как старушка и вероятность того, что он сядет на место последнего равна вероятности сесть на место старушки.
3. Итак, конечными состояниями являются: а) сесть на место последнего; б) сесть на место старушки. Остальные состояния несущественны (сколько бы их не было) и на соотношение вероятностей сесть на место последнего или старушки они не влияют. Это соотношение на каждом таком акте равно 1:1.
4. Вероятность конечного состояния "сел на место старушки" равно 1/2 (как и второго) и это означает, что вероятность того, что последний сядет на своё место равно 1/2