Задачка№1
Две парусных лодки принимают участие в соревновании; нужно пройти 24 км (реки) туда и обратно в кратчайшее время. Первая лодка прошла весь путь с равномерной скоростью 20 км через час; вторая двигалась туда со скоростью 16 км/ч, а назад со скоростью 24 км/ч Победила на соревновании первая лодка. Почему же вторая лодка опоздала?
Три случая бывает.
1. Если путь и скорость измеряется в одной инерциальной системе координат, то есть скорость и расстояние измеряется относительно какой-то одной точки на воде или на береге (не учитывается течение реки).
24км: L;
20 км/ч: V;
16км/ч: V-d;
24км/ч: V+d;
Время пройденное первой лодкой.
2*L/V.
Время пройденное второй лодкой.
L/(V-d)+L/(V+d)=2*L*V/(V*V-d*d).
Если эти оба выражения умножить на V*(V*V-d*d) и поделить на 2*L, то будет сразу видно, что первая лодка, которая в оба направления с одинаковой скоростью плывет, всегда быстрее закончит путь, ибо V*V-d*d всегда меньше V*V
2. Если путь считается в координатах берега, а скорость в координатах воды.
В этом случае надо когда плывет в одну сторону прибавлять скорость воды, а когда в другую, то вычитать. Эти случаи буду отдельно считать.
Введем обозначения.
24км: L;
20 км/ч: V;
16км/ч: V-d;
24км/ч: V+d;
w - скорость воды.
Время в пути первой лодки.
2*L*V/(V*V-w*w).
2.1. Когда с меньшей скоростью против течения плывет.
Время в пути второй лодки.
2*L*V/(V*V-(w+d)*(w+d)).
В этом случае первая лодка тоже быстрее всегда приплывет, ибо V*V-w*w всегда меньше V*V-(w+d)*(w+d).
2.1. 2.2. Когда с меньшей скоростью по течению плывет.
Время в пути второй лодки.
2*L*V/(V*V-(w-d)*(w-d)).
В этом случае первая лодка будет плыть медленнее, ибо V*V-(w+d)*(w+d) всегда меньше V*V-(w-d)*(w-d).
Ответ: первая лодка приплывет первой, если скорости и расстояния в одной системе координат мерятся или, если скорости относительно воды мерятся, а расстояния относительно берега и вторая лодка с меньшей скоростью против течения плывёт.
