Капля на колесе

[Michael]

1)По дороге с постоянной скоростью катится колесо. Направление движения - слева направо. С самой левой точки колеса по инерции слетает капля, какое-то время летит и падает в ту же точку , с которой слетела. Какова скорость колеса?

Там где я нашёл задачу, по ошибке не указали с какой именно точки колеса слетает капля. Без указания точки колеса получаются новые задачи :

2) существуют ли ещё точки колеса с которых капля может слететь с сохранением условия задачи?
3) существуют ли точки колеса для которых это невозможно? (ответ пока не знаю) 

[buka]

1)По дороге с постоянной скоростью катится колесо. Направление движения - слева направо. С самой левой точки колеса по инерции слетает капля, какое-то время летит и падает в ту же точку , с которой слетела. Какова скорость колеса?

Там где я нашёл задачу, по ошибке не указали с какой именно точки колеса слетает капля. Без указания точки колеса получаются новые задачи :

2) существуют ли ещё точки колеса с которых капля может слететь с сохранением условия задачи?
3) существуют ли точки колеса для которых это невозможно? (ответ пока не знаю) 

Показать скрытый текст

1. Можно считать, что колесо вращается на закреплённой оси, а земля движется поступательно относительно колеса в противоположную сторону.
Для простоты будем считать колесо подобным циферблату - крайняя левая точка - 9, верхняя - 12, крайняя правая - 3.
Если капля оторвалась с т. 9, единственная возможность её упасть в ту же точку - это если колесо сделает за время воздушного путешествия капли ровно целое число оборотов. Это возможно. Расчёты, надеюсь, Вы сделаете.
2. Если капля срывается с участка 9 < Х < 12, то мы имеем следующее:
а) в момент отрыва капля имела горизонтальную составляющую Г, которая в полёте не изменилась.
б) Что касается горизонтальной составляющей соответствующей точки колеса - то оно меняется - сначала увеличивается (до апогея = 12), а затем уменьшается.
Поэтому в принципе, если капля упадёт в ту же точку, это значит, что колесо уже будет после апогея = 12. Это тоже возможно, но расчёты будут ой какие сложные:
надо будет проинтегрировать горизонтальную составляющую скорости точки( получить горизонтальную составляющую пути) и приравнять к горизонтальной составляющей пути капли. Но, повторяю, участок 9...12 (исключая 12) возможен.
3. Участок 12...3 невозможен: горизонтальная составляющая капли будет превосходить горизонтальную составляющую точки. Участок 3...9 само собой невозможен 

[Michael]

Показать скрытый текст

1)

Можно считать, что колесо вращается на закреплённой оси

Это правильная идея.

Расчёты, надеюсь, Вы сделаете.

Спасибо, я их сделал давно, тогда же, когда решил задачу 1) и они очень простые.

2)
Согласен что участок 9-12 возможен, но к сожалению, доказательства не увидел. Никаких сложных расчётов  не требуется. Речь идёт о математической теореме существования. Для этого не обязательно подсчитывать точные значения расстояний, скоростей и т.д.
3)
Про участок 12-3-6-9 правильно, конечно, но когда я говорил про ответ, который пока не знаю, я имел в виду другое, просто плохо сформулировал. Меня интересовал участок 9-12, так сказать, более подробно. Несложно доказать существование требуемой(можно назвать её хорошей) точки между 9 и 12, но есть ли там так же "плохие" точки? Я об этом пока не думал.
Вот как сформулировал этот вопрос один участник форума, где я увидел задачу(форум сейчас не работает).

"Мне кажется интересным было бы определить крайнюю точку на колесе, когда такой "кульбит" возможен.Или она стремится к 12? Интересно определить также крайнюю точку колеса, где возможно более 1-го оборoта."

[[PC]Contra]

Если капля находится в точке 9часов, то, чтобы она попала опять в ту же точку на колесе, скорость колеса должна быть равна V=Корень(g*3.14*r) где g - ускорение свободного падения, r - радиус колеса. Если правильно (сам считал) , то напишите, мне будет приятно

[House Fox]

Если капля находится в точке 9часов, то, чтобы она попала опять в ту же точку на колесе, скорость колеса должна быть равна V=Корень(g*3.14*r) где g - ускорение свободного падения, r - радиус колеса. Если правильно (сам считал) , то напишите, мне будет приятно

Интересно. Впервые вижу, чтобы отвечающий сам написал ход решения, но считать не стал.

[[PC]Contra]

В смысле "считал" ? Там формула получается, считать численно там нечего

[Michael]

Если капля находится в точке 9часов, то, чтобы она попала опять в ту же точку на колесе, скорость колеса должна быть равна V=Корень(g*3.14*r) где g - ускорение свободного падения, r - радиус колеса. Если правильно (сам считал) , то напишите, мне будет приятно

Вы правильно указали одно из нескольких возможных решений.
 Поэтому, строго говоря, ваше утверждение "скорость колеса должна быть равна V=Корень(g*3.14*r)" нельзя считать верным. Но она может быть равна V=Корень(g*3.14*r), это правильно.   Но есть и другие решения.
 

[[PC]Contra]

Наверно, ТЫ ПРИКОЛИСТ, Michael?
Ради тебя пишу решение:
w = угловая скорость движения колеса относительно мгновенного центра скоростей, r - радиус колеса, если провести радиус-вектор из мгновенного центра скоростей к капле, то угол между осью 0Х и радиус-вектором равен arccos(Корень(r^2+r^2)=45 градусам (извините, не знаю как рисунок вставить)
координата 0Х - вправо, по ходу движения колеса, 0У -вверх, к синему небу.
0Х=Корень(r^2+r^2)*(sin45)*w*t=r*w*t
0Y=Корень(r^2+r^2)*r*(cos45)*w*t=rw*t-g(t^2)/2
Путь равен 2ПИ*r или 2ПИ*r*n, где n - любое число (это число оборотов)
Далее, 0X=2ПИ*r*n
0У=0
Сравниваем уравнение движения колеса и 0X капли, получаем:
2ПИ*r*n=rwt
t=2ПИ*n/w
Теперь 0Y:
rw2ПИ/w-(g(2ПИ/w)^2)/2=0
т.е. r=g*ПИ/(w^2)
Теперь, последнее  равенство разделим на r^2, получим:
1/r=g*ПИ/V^2
V=Корень(g*ПИ*r)- условие по оси 0У
Или w=Корень(g*ПИ)=5,5515 радиан в секунду
Условие по оси 0Х:
w=2ПИ*n/t, т.е. здесь 2 переменных, w и t
Если вам надо, чтобы капля попала через 2 оборота на то же самое место, то время в "пути" составит 2,26 сек и т.д.

[buka]

Показать скрытый текст

1)

Можно считать, что колесо вращается на закреплённой оси

Это правильная идея.

Расчёты, надеюсь, Вы сделаете.

Спасибо, я их сделал давно, тогда же, когда решил задачу 1) и они очень простые.

2)
Согласен что участок 9-12 возможен, но к сожалению, доказательства не увидел. Никаких сложных расчётов  не требуется. Речь идёт о математической теореме существования. Для этого не обязательно подсчитывать точные значения расстояний, скоростей и т.д.
3)
Про участок 12-3-6-9 правильно, конечно, но когда я говорил про ответ, который пока не знаю, я имел в виду другое, просто плохо сформулировал. Меня интересовал участок 9-12, так сказать, более подробно. Несложно доказать существование требуемой(можно назвать её хорошей) точки между 9 и 12, но есть ли там так же "плохие" точки? Я об этом пока не думал.
Вот как сформулировал этот вопрос один участник форума, где я увидел задачу(форум сейчас не работает).

"Мне кажется интересным было бы определить крайнюю точку на колесе, когда такой "кульбит" возможен.Или она стремится к 12? Интересно определить также крайнюю точку колеса, где возможно более 1-го оборoта."

Резонно. 
Показать скрытый текст

Даже участок 9-12 - не весь хороший, в нём есть мёртвая зона, и немалая.
Например, если капля отрывается в районе "10" (т.е. 30 градусов), она никак не может попасть в ту же точку.
Если капля отрывается позже - в районе "11" (60 градусов), то она попадает в ту же точку (при соответствующей скорости, естественно)
Если капля чуть больше 9 - то она тоже попадает (при соответствующей скорости, естественно).
Я могу показать уравнения для определения параметров мёртвой зоны и доказать, что вне мёртвой зоны на участке 9-12 всегда можно обеспечить попадание при соответствующей скорости.
И наоборот - из мёртвой зоны попадание обеспечить невозможно.
Дайте мне знать, если Вас интересует доказательство.

[Michael]

кЕсли капля чуть больше 9 - то она тоже попадает (при соответствующей скорости, Дайте мне знать, если Вас интересует доказательство. [/spoiler]

Да, очень интересно.
 

[buka]

Тогда наберитесь терпения
Показать скрытый текст

1. И точка на ободе и капля совершают сложные движения, которые можно разложить на верт. и гориз. составляющие (ГС и ВС)
2. Для того, чтобы капля попала в ту же точку, надо обеспечить баланс как по ГС, так и по ВС.
3. Но для доказательства невозможности достаточно доказать невозможность обеспечения баланса только по одной составляющей, в частности, по ГС.
-----------------------------
Эти 3 тезиса определяют стратегию доказательства:
4. Доказать наличие зон на колесе, где баланс ГС обеспечивается и где баланс ГС невозможен.
5. Убедиться, что координаты этих зон не зависят ни от линейных размеров колеса, ни от его угловой и линейной скорости.
6. Доказать, что тогда для зон баланса ГС всегда можно подобрать линейные размеры колеса и/или угловую скорость, чтобы обеспечить баланс ВС.
-------------------------------
Самое сложное и громоздкое - это п.4. Но мы не боимся трудностей
4.1 Что значит баланс ГС (БГС)?
Забудем о притяжении и т.п. и будем следить за проекциями капли и точки отрыва на горизонтальную плоскость во времени.
Если в некоторый момент времени эти проекции совпадут, и при этом проекции как капли, так и точки отрыва при этом будут двигаться в одном направлении, то этот момент мы и будем называть моментом достижения баланса БГС.
4.2 Нас интересует удаление проекции капли (ПК) и проекции точки отрыва (ПТ) в текущий момент от проекции точки отрыва капли в момент отрыва (ПТМО).
Если в некоторый момент удаление ПК (УПК) будет равно удалению ПТ (УПТ), то это и есть условие БГС.
4.3 Другими словами нас интересует при каких координатах точки отрыва в момент отрыва (ТОМО) может быть обеспечено равенство УПК=УПТ, а в каких - нет.
4.4 Если соединить точку отрыва капли в момент отрыва (ТОМО) с центром колеса, то угол, образуемый этой прямой с горизонталью и есть та координата, что нас интересует - назовём этот угол - начальный угол отрыва - НУО
4.5 Если построить график во времени скорости ПТ, то это будет синусоида.
А график скорости ПК (после отрыва, естественно) - это горизонтальная прямая с ординатой, равной синусу НУО.
4.6 Тогда касательно удалений УПК и УПТ, то они будут представлять собой:
а) для УПТ - площадь под синусоидой  (ПпС);
б) для УПК - площадь под горизонтальной прямой (прямоугольник)
4.7 Сначала нас будут интересовать события происходящие за время первого полуоборота колеса (от точки "9" через т. "12" до точки "3").
4.8 Допустим, что капля отрывается относительно поздно - под углом 60 градусов и выше.
Тогда в первые мгновения после отрыва ПпС будет больше площади прямоугольника, а в конце полуоборота, площадь пр-ка уже будет превышать ПпС.
Естественно, найдётся момент времени когда площади уравняются и это и будет балансом: УПК достигнет УПТ в этот момент.
4.9 Чем меньше будет начальный угол отрыва НУО, тем позже будет достигнут момент уравнивания. В конце концов, можно получить такой НУО, когда уравнивание наступит в точке "3", т.е. в конце первого полуоборота.
Назовём такой НУО как НУО1.
4.10 Если продолжать дальше уменьшать НУО, то уравнивание на первом полуобороте не произойдёт и точка отрыва уйдёт "за горизонт"
4.11 Значит ли это, что для любого НУО < НУО1 невозможно достижение баланса ГС?
Нет!
4.12 Допустим что у нас очень маленький НУО (т.е. ордината прямоугольника очень мала). Допустим, она настолько мала, что за время полного оборота (двух полуоборотов) колеса + повторного достижения точки отрыва наша проекция капли (ПК) ещё не удалилась за точку "3".
Тогда у точки отрыва колеса есть шансы "догнать" ПК!
4.13 Назовём НУО2 максимальный НУО, при котором проекция точки отрыва (ПТ) способна догнать ПК на втором оборотe (вернее, на 3-м полуобороте).
Тогда можно сказать, что баланс ГС обеспечивается при 0<=НУО<=НУО2 и при НУО1<=НУО<90 градусов, а мёртвая зона определяется как НУО2<НУО<НУО1.
------------------------
Если до сих пор понятно, дайте мне знать и я смогу перейти к п.6 а также оценить НУО1 и НУО2, показав соответствующие уравнения. 

 

[buka]

Тогда наберитесь терпения
Показать скрытый текст

1. И точка на ободе и капля совершают сложные движения, которые можно разложить на верт. и гориз. составляющие (ГС и ВС)
2. Для того, чтобы капля попала в ту же точку, надо обеспечить баланс как по ГС, так и по ВС.
3. Но для доказательства невозможности достаточно доказать невозможность обеспечения баланса только по одной составляющей, в частности, по ГС.
-----------------------------
Эти 3 тезиса определяют стратегию доказательства:
4. Доказать наличие зон на колесе, где баланс ГС обеспечивается и где баланс ГС невозможен.
5. Убедиться, что координаты этих зон не зависят ни от линейных размеров колеса, ни от его угловой и линейной скорости.
6. Доказать, что тогда для зон баланса ГС всегда можно подобрать линейные размеры колеса и/или угловую скорость, чтобы обеспечить баланс ВС.
-------------------------------
Самое сложное и громоздкое - это п.4. Но мы не боимся трудностей
4.1 Что значит баланс ГС (БГС)?
Забудем о притяжении и т.п. и будем следить за проекциями капли и точки отрыва на горизонтальную плоскость во времени.
Если в некоторый момент времени эти проекции совпадут, и при этом проекции как капли, так и точки отрыва при этом будут двигаться в одном направлении, то этот момент мы и будем называть моментом достижения баланса БГС.
4.2 Нас интересует удаление проекции капли (ПК) и проекции точки отрыва (ПТ) в текущий момент от проекции точки отрыва капли в момент отрыва (ПТМО).
Если в некоторый момент удаление ПК (УПК) будет равно удалению ПТ (УПТ), то это и есть условие БГС.
4.3 Другими словами нас интересует при каких координатах точки отрыва в момент отрыва (ТОМО) может быть обеспечено равенство УПК=УПТ, а в каких - нет.
4.4 Если соединить точку отрыва капли в момент отрыва (ТОМО) с центром колеса, то угол, образуемый этой прямой с горизонталью и есть та координата, что нас интересует - назовём этот угол - начальный угол отрыва - НУО
4.5 Если построить график во времени скорости ПТ, то это будет синусоида.
А график скорости ПК (после отрыва, естественно) - это горизонтальная прямая с ординатой, равной синусу НУО.
4.6 Тогда касательно удалений УПК и УПТ, то они будут представлять собой:
а) для УПТ - площадь под синусоидой  (ПпС);
б) для УПК - площадь под горизонтальной прямой (прямоугольник)
4.7 Сначала нас будут интересовать события происходящие за время первого полуоборота колеса (от точки "9" через т. "12" до точки "3").
4.8 Допустим, что капля отрывается относительно поздно - под углом 60 градусов и выше.
Тогда в первые мгновения после отрыва ПпС будет больше площади прямоугольника, а в конце полуоборота, площадь пр-ка уже будет превышать ПпС.
Естественно, найдётся момент времени когда площади уравняются и это и будет балансом: УПК достигнет УПТ в этот момент.
4.9 Чем меньше будет начальный угол отрыва НУО, тем позже будет достигнут момент уравнивания. В конце концов, можно получить такой НУО, когда уравнивание наступит в точке "3", т.е. в конце первого полуоборота.
Назовём такой НУО как НУО1.
4.10 Если продолжать дальше уменьшать НУО, то уравнивание на первом полуобороте не произойдёт и точка отрыва уйдёт "за горизонт"
4.11 Значит ли это, что для любого НУО < НУО1 невозможно достижение баланса ГС?
Нет!
4.12 Допустим что у нас очень маленький НУО (т.е. ордината прямоугольника очень мала). Допустим, она настолько мала, что за время полного оборота (двух полуоборотов) колеса + повторного достижения точки отрыва наша проекция капли (ПК) ещё не удалилась за точку "3".
Тогда у точки отрыва колеса есть шансы "догнать" ПК!
4.13 Назовём НУО2 максимальный НУО, при котором проекция точки отрыва (ПТ) способна догнать ПК на втором оборотe (вернее, на 3-м полуобороте).
Тогда можно сказать, что баланс ГС обеспечивается при 0<=НУО<=НУО2 и при НУО1<=НУО<90 градусов, а мёртвая зона определяется как НУО2<НУО<НУО1.
------------------------
Если до сих пор понятно, дайте мне знать и я смогу перейти к п.6 а также оценить НУО1 и НУО2, показав соответствующие уравнения. 

 

Michael, Вы ознакомились?

[Michael]

Да, очень интересно, давайте продолжение.

[Michael]

Наверно, ТЫ ПРИКОЛИСТ, Michael?
Ради тебя пишу решение:
w = угловая скорость движения колеса относительно мгновенного центра скоростей, r - радиус колеса, если провести радиус-вектор из мгновенного центра скоростей к капле, то угол между осью 0Х и радиус-вектором равен arccos(Корень(r^2+r^2)=45 градусам (извините, не знаю как рисунок вставить)
координата 0Х - вправо, по ходу движения колеса, 0У -вверх, к синему небу.
0Х=Корень(r^2+r^2)*(sin45)*w*t=r*w*t
0Y=Корень(r^2+r^2)*r*(cos45)*w*t=rw*t-g(t^2)/2
Путь равен 2ПИ*r или 2ПИ*r*n, где n - любое число (это число оборотов)
Далее, 0X=2ПИ*r*n
0У=0
Сравниваем уравнение движения колеса и 0X капли, получаем:
2ПИ*r*n=rwt
t=2ПИ*n/w
Теперь 0Y:
rw2ПИ/w-(g(2ПИ/w)^2)/2=0
т.е. r=g*ПИ/(w^2)
Теперь, последнее  равенство разделим на r^2, получим:
1/r=g*ПИ/V^2
V=Корень(g*ПИ*r)- условие по оси 0У
Или w=Корень(g*ПИ)=5,5515 радиан в секунду
Условие по оси 0Х:
w=2ПИ*n/t, т.е. здесь 2 переменных, w и t
Если вам надо, чтобы капля попала через 2 оборота на то же самое место, то время в "пути" составит 2,26 сек и т.д.

Да, всё правильно.
 

[buka]

Да, очень интересно, давайте продолжение.

Показать скрытый текст

1. Сначала давайте получим уравнения для НУО1 и НУО2.
Напомню, что НУО1 - это такое значение начальнго угла отрыва, при котором проекция капли догоняет проекцию точки отрыва в конце 1-го полуоборота (в точке "3").
Для этого надо вычислить площадь прямоугольника, площадь участка синусоиды и приравнять их.
1.1 Площадь прямоугольника (УПК):
Капля отрывается в НУО1 и догоняет точку отрыва в "3". Значит длина прямоугольника = Пи - НУО1. (Пи =~ 3.1415...). (Пи - это развёрнутый угол или полоборота, а НУО1 - это начальный угол отрыва. Длина пр-ка - это время от отрыва до конца полуоборота, т.е. Пи - НУО1)
Высота прямоугольника = Синус(НУО1).
Площадь = Синус(НУО1)*(Пи - НУО1).
1.2 Площадь под синусоидой:
Надо проинтегрировать синусоиду по времени с начальным условием Т0 = НУО1 и конечным Т1 = Пи.
Интеграл(Синус(Т))^Пи_НУО1 = -Косинус(Пи) - (-Косинус(НУО1) = 1 + Косинус(НУО1)
Уравнение баланса:
Синус(НУО1)*(Пи - НУО1) = 1 + Косинус(НУО1)
Конечно, решить его в явном виде я не берусь, но решение имеется.
Для НУО2 уравнение баланса похожее:
Синус(НУО1)*(3Пи - НУО1) = 1 + Косинус(НУО1)
Правая часть не изменилась потому что:
Интеграл(Синус(Т))^Пи_НУО1 = Интеграл(Синус(Т))^3Пи_HУО1

----------------------------------------------------
До сих пор всё понятно?   Нет никаких вопросов?