Чем нудное?) У меня получилось, что (x^2+y^2)^2010=(xy)^n, отсюда, при натуральных числах, появляется условие, что эти 2 числа - степени одного. Далее подобором х=у=2 => n=3015 ,
x=y=4 => n= 2512,5 - ненатуральное.
Ну, если Вы будете тыкаться подбором, то долго придётся...
Надо найти закономерность.
1. Если Х^2+У^2 представить в виде (ХУ)^Р то обе части уравнения можно сократить на ln(ХУ) и свести уравнение к: 2010*Р = n
2. Нам надо, чтобы Р было рациональным, иначе никакое натуральное n не подойдёт
3. Какими должны быть Х и У, чтобы Р было рациональным?
Х^2+У^2 = ХУ(Х/У + У/Х).
С другой стороны: Х^2+У^2 = (ХУ)^Р
4. Приравняв, получим: (ХУ)^Р = ХУ(Х/У + У/Х).
Сократив на ХУ не равное 0, получим: (ХУ)^(Р-1) = Х/У + У/Х
5. Заметим, что Х^2+У^2 строго > ХУ, откуда Р > 1 и Р-1 > 0.
6. Целое число в положительной рациональной степени не может быть дробным (только целым или иррациональным). Значит, Х/У + У/Х не может быть дробным.
Иррациональным, оно тоже быть не может (ясен пень), т.е. оно должно быть целым.
Оно может быть целым лишь при Х=У.
7. Итак Х=У , Х/У + У/Х = 2 а ХУ=Х^2.
8. Тогда: (ХУ)^(Р-1) = Х/У + У/Х = Х^(2*(Р-1)) = 2
Х = 2^(1/(2Р-2)).
Итак, Х должно быть степенью двойки, т.е. 1/(2Р-2) должно быть целым.
9. Запишем это условие: 1/(2Р-2) = К, откуда Р = (2К+1)/2К = 1 + 1/2К
10. Заметим, что с возрастанием К Р уменьшается.
11. Вернёмся к ур-нию из п.1 2010*Р = n.
При К=1 Р = 3/2 и n = 2010*3/2 = 3015 (Р и n максимальны)
При увеличении К будет уменьшаться как Р так и n.
При К > 1005, 2К > 2010 и n уже не может быть целым.
Максимальное К при котором n целое это К=1005 и n = 2010*(2*1005+1)/(2*1005)= 2011.
Это n - минимальное целое.
