Пираты и сундук денег

[Илья]

Пять пиратов, в результате удачного нападения на торговый корабль, заполучили сундук золотых монет и так как сегодня уже ни на что не оставалось сил, решили поделить деньги завтра.
В час ночи один пират проснулся и решил, что не может доверять остальным. Поэтому он разделил все монеты на пять равных частей, при этом одна монета оказалась лишней, и он недолго думая взял лишний золотой себе. Свою часть пират спрятал, а остальное оставил в сундуке.
В два часа ночи проснулся второй пират и сделал то же самое: разделил деньги на пять равных частей, при этом один золотой остался и он так же взял его себе. Свою часть спрятал, а остальное оставил в сундуке.
В 3, 4 и 5 часов утра по очереди просыпались остальные пираты и делали все то же самое.
Утром, когда все проснулись, никто не сказал, что дележ он уже произвел, поэтому они просто разделили оставшиеся монеты на пять равных частей. При этом опять одна монета оказалась лишней и пираты, чтобы не ругаться из-за одного золотого выкинули его за борт.
Вопрос: какое наименьшее число монет могло быть изначально в сундуке?

[Валерий]

Монеты приятнее делить, чем кокосы   

[Илья]

Монеты приятнее делить, чем кокосы  

Я бы сказал, что по количеству правдопадобнее.

[House Fox]

Как вариант - 6485 монет

[Илья]

Как вариант - 6485 монет

Сразу неверно, потому как это число без остатка делится на 5, что противоречит условию.

[House Fox]

Значит в вычислении ошибся, просто не проверял.

[iPhonograph]

там была долговая расписка на 4 монеты 

[House Fox]

Ну вот, вроде подходит (но как насчет самого меньшего числа не уверен) - 19531


Странно, вроде правильно считал...

[Илья]

Странно, вроде правильно считал...

Стандартная ошибка, если получается 19531, то значит пират забирает себе 4/5 часть денег и следующий уже делит 1/5 вместо 4/5.

[Smith]

15621 - было всего монет
15621-1=15620; 15620/5=3124+1 - оставил у себя первый пират (в 1 час ночи)
15620-3124=12496 - монет осталось
12496-1=12495; 12495/5=2499+1 - оставил у себя второй пират (в 2 часа ночи)
12495-2499=9996 - осталось
9996-1=9995; 9995/5=1999+1  - оставил у себя третий пират (в 3 часа ночи)
9995-1999=7996 - осталось
7996-1=7995; 7995/5=1599+1  - оставил у себя четвертый пират (в 4 часа ночи)
7995-1599=6396 - осталось
6396-1=6395; 6395/5=1279  - оставил у себя пятый пират (в 5 часов ночи)
6395-1279=5116 - осталось
5116-1=5115 - 1 золотой выбросили за борт
5115/5=1023 - разделили на пятерых по-ровну.

[Smith]

минимум, который теоретически мог оставить у себя каждый при самом последнем дележе составляет 1 монету, или 2¹ - 1 монета.
однако, для завершения полного цикла дележей, при окончательной дележке у каждого должно остаться не менее 2¹⁰-1 монета, или 1023 монет.

[Илья]

Ответ верный.
Но как вот это утверждение выведено?

однако, для завершения полного цикла дележей, при окончательной дележке у каждого должно остаться не менее 210-1 монета, или 1023 монет.

[Smith]

Илья, возьми степени двойки и ты увидишь, что это то количество монет, с которыми пираты могут остаться при последнем дележе, при 5-м, 4, 3, 2 и 1. на каждый дележ - по две степени минус единица. например, чтобы выйти на 4 пирата (с конца) нужно 2⁴=16-1=15, на 3 - 2⁶=64-1=63 и т.д. чтобы закрыть всех пиратов + последний дележ нужно будет оставить у каждого 2¹⁰-1 монет

[Илья]

Понятно.