Куб

[Илья]

В каждой вершине куба записано число. За один шаг к двум числам, размещенным на одном (любом) ребре, прибавляется по единице. Можно ли за несколько таких шагов сделать все восемь чисел равными между собой?
a)    0-------0
      /|        /|
     / |       / |
    0-|----0   |
    |  |     |   |
    |  0----|--1
    | /      |  /
    |/       | /
    0------0 

[Репка]

инвариант четности суммы

[Илья]

б)  7------4
    /|       /|
   / |      / |
  6-|----5  |
  |  |     |  |
  |  2----|-3
  | /       | /
  |/        |/
  1-------4

[Репка]

Заманил 

Из каждой пары (2n-1, 2n) делаем (6,7), осталось 'приподнять' по паре шестерок в бывших парах (1-6) и (3-4).

ТС интересует, можно ли в общем случае?

[Илья]

А как Вы соорудите общий случай?

[Репка]

Очень просто. В вершинах куба стоят цифры, сумма которых четна. За один шаг к двум числам, размещенным на одном (любом) ребре, прибавляется по единице. Всегда ли можно за конечное число шагов сделать числа в вершинах одинаковыми?

[iPhonograph]

В общем случае нельзя
Вот например:

      1-------0
      /|        /|
     / |       / |
    0------0  |
    |  |     |   |
    |  0---|--1
    | /      |  /
    |/       | /
    0------0  

[Репка]

Понятно. Всплыло еще одно условие о равенстве сумм в вершинах вписанных тетраедров.

[buka]

Определить общий случай очень просто.Одна вершина ребра раскрашивается красным цветом, другая - синим. Если при такой раскраске сумма синих цифр в исходном кубе не будет равна сумме красных - то нельзя, а если будет - то можно.

[Илья]

В общем случае нельзя
Вот например:

А это у меня шло под буквой в

[iPhonograph]

Определить общий случай очень просто.Одна вершина ребра раскрашивается красным цветом, другая - синим. Если при такой раскраске сумма синих цифр в исходном кубе не будет равна сумме красных - то нельзя, а если будет - то можно.

как доказать, что это достаточное условие?

[Репка]

как доказать, что это достаточное условие?

Не знаю, насколько это будет считаться доказательством, но возникло конструктивное построение:

Пусть имеется кольцо вершин 1-8, и сумма чисел на нечетных местах равна сумме на четных. Если существует способ уравнять все числа в кольце, то это доказывает и гипотезу для куба, ибо кольцо - более сильная задача, чем куб.
Для начала уравняем (1-2). Очевидно, это возможно. Если (3) больше(1-2), то поднимем (1-2) до уровня 3, иначе поднимем (3-4) до того, как (3) сравняется с (1-2). Аналогично сравняем (5-6-7), после чего в группе, имеющей меньшее число, сначала поднимем пару до равенства с большей тройкой, а оставшуюся вершину поднимем вместе с вспомогательной соседней.
Итак, имеем группы (1-2-3) и (5-6-7) с одинаковым числом. Пусть это число k. Теперь, если в (4) стоит число k+m, то в силу равенства чет-нечет, в (8) находится число k-m. Поднимем (2-3) и (5-6) до k+m. Далее, поднимем (1-8) до k+m в (1) и k в (8) соответственно. Остались вершины (7) и (8), в обоих получилось число k. Поднимаем эту пару до k+m, и во всех вершинах оказывается одинаковое число.

Вычеркнул, ибо многабукв.

[buka]

Определить общий случай очень просто.Одна вершина ребра раскрашивается красным цветом, другая - синим. Если при такой раскраске сумма синих цифр в исходном кубе не будет равна сумме красных - то нельзя, а если будет - то можно.

как доказать, что это достаточное условие?

1. Рисовать я не умею, поэтому опишу куб АБВГА1Б1В1Г1, где нижняя грань АБВГ и верхняя - А1Б1В1Г1 (А1 над А, Б1 над Б и т.д.). Думаю, пока всё ясно.
2. Раскрасим вершины: А,В,Б1,Г1 - красные, Б,Г,А1,В1 - синие.
3. Если числа при вершинах куба не равны, существует макс (м/б не один) и мин (тоже м/б не один)  
4. Рассмотрим самый тяжёлый случай. Некоторая красная вершина (напр. А) = мин и все 3 ребра от неё исходящие имеют синие концы - мах. Назовём этот случай "мин-3мах" (почему это самый трудный случай, надеюсь объяснять не надо). Эти синие вершины: А1,Б и Г
Тогда оставшаяся синяя вершина (В1) может быть только мин, а окружающие её красные (В,Б1,Г1)- только макс.
Прибавим (макс-мин) к вершинам вертикального ребра АА1.
Тогда в нижней грани все 4 вершины будут = макс, а в верхней грани будет:
А1=2мах-мин, Б1=Г1=мах и В1=мин. Прибавим мах-мин сначала к вершинам ребра В1Б1, затем - В1Г1 и всё уравняется сверху.
Остаётся опять уравнять нижнюю грань с верхней просто оперируя рёбрами нижней грани.
Если у кого-то сомнения, почему случай, который я рассмотрел - худший, - готов разъяснить.
Впрочем, могу это сделать сейчас:
Если не существует вершина=мин, окружённая только вершинами другого цвета = макс, то можно выбрать ребро с не макс и поднять мин, не превысив макс.
Если таких мин несколько то это можно либо:
а) сделать автономно для каждой мин
б) свести к  случаю "мин-3мах".
То есть в случае а) есть стратегия уменьшающая макс-мин и способная либо уменьшить её до нуля, либо привести к случаю б).

[Репка]

 

Кстате, "худший случай" - очень плохая фраза для доказательства 

[buka]

Кстате, "худший случай" - очень плохая фраза для доказательства 

Ну, я не девушка на выданье
Кстати, я привёл и д-во общего случая - добавил к тому д-ву.
Так что можете называть это не "худший случай", а случай б)