Куб

[Репка]

Черт, все проще: оперируя верхней гранью, можно сделать 4 одинаковых числа в нижней. Далее делаем равными две соседние верхние вершины с помощью оставшейся верхней пары, две оставшиеся также станут равны. Добиваем верхнюю до равенства, и меньшую грань(из верх-низ)  опять же до равенства.

[buka]

Черт, все проще: оперируя верхней гранью, можно сделать 4 одинаковых числа в нижней. Далее делаем равными две соседние верхние вершины с помощью оставшейся верхней пары, две оставшиеся также станут равны. Добиваем верхнюю до равенства, и меньшую грань(из верх-низ)  опять же до равенства.

Ну, я понял, что Вы имеете ввиду, хоть и выражались Вы не совсем гладко, скажем так.
1. Нельзя сделать равными вершины нижней грани оперируя верхней гранью. Вы имхо имели ввиду что можно сделать равными вершины нижней грани, оперируя вертикальными рёбрами, т.е. за счёт верхней грани.
2. Действительно, верхнюю грань можно "ухайдокать" , т.е. сделать её вершины равными, как Вы описываете, но это надо доказать.
Суммы чисел по диагонали в верхней грани равны. Поэтому если все 4 числа верхней грани не равны сразу, то одна диагональ содержит и минимум и максимум.
Поэтому два ребра контачащие с минимумом просто поднимаем до максимума уравнивая с максимумом вторые их концы.
--------------------------------------
Я кажется имею доказательство более общего случая - когда речь идёт не только о кубе, но о произвольной структуре с одинаковой суммой чисел одного цвета.

[Репка]

Ну, я понял, что Вы имеете ввиду, хоть и выражались Вы не совсем гладко, скажем так.

В этом мы похожи, за тем отличием, что я так и не понял, что Вы имели ввиду 

2. Действительно, верхнюю грань можно "ухайдокать" , т.е. сделать её вершины равными, как Вы описываете, но это надо доказать.

Предпочитаю не опираться все-таки совсем на аксиоматику, а некоторые вещи считать очевидными. Иначе каждые раз пришлось бы доказывать, к примеру, что прямая делит плоскость на две полуплоскости, а любая прямая, не проходящая через вершину треугольника, пересекает его в четном числе точек.

Я кажется имею доказательство более общего случая - когда речь идёт не только о кубе, но о произвольной структуре с одинаковой суммой чисел одного цвета.

Это хорошо. Тогда Вам не составит труда сделать одинаковыми числа в трехлучевой звезде, в центре которой тройка, а в конце лучей по единице.

[buka]

Я кажется имею доказательство более общего случая - когда речь идёт не только о кубе, но о произвольной структуре с одинаковой суммой чисел одного цвета.

Это хорошо. Тогда Вам не составит труда сделать одинаковыми числа в трехлучевой звезде, в центре которой тройка, а в конце лучей по единице.

Раз плюнуть. Как только Вы мне её раскрасите так, чтобы в каждом цвете было равное число вершин, - так сразу.

[Репка]

Уж что-что, а гадости я рисовать умею 
Показать скрытый текст

 

[buka]

Если Вас интересует доказательство, то из него "вытечет" сама степень произвольности структуры.
Пока же в моём представлении для такой структуры должно выполняться следующее правило: для любых трёх вершин А, В, С, путь из А в С может как включать точку В, так и не включать.