XIII-ый тур Математического Марафона
(Третья открытая Интернет-олимпиада по математике)
Математический Марафон - регулярный конкурс, который уже несколько лет проводит Владимир Лецко (VAL). Сейчас мы объединили усилия и приглашаем принять участие в XIII-ый туре Математического Марафона (Третьей открытой Интернет-олимпиаде по математике).
Приветствуются все, кто любит поломать голову над нестандартными задачами!
Ждем от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале.
===============================================================В рамках 13-го тура, как обычно, проводится тематический конкурс.
Он является прямым продолжением тематического конкурса из 11-го тура.
Его тематика -
комбинаторная геометрия.Более того, тематические задачи тура, как и задачи ММ57, ММ101, ММ102, ММ103, ММ104 и ММ120, будут так или иначе связаны с выпуклыми многоугольниками.
В условиях и для решения этих задач используется следующая терминология:
===============================================================Число сторон исходного выпуклого многоугольника всегда обозначается через n (если иное не оговорено в конкретной задаче).
Исходный многоугольник разбивается своими диагоналями на элементарные.
Точка внутри многоугольника называется особой (полюсом), если в ней пересекаются не менее трех диагоналей.
Если в особой точке пересекаются k диагоналей, то она является полюсом порядка k-2.
Многоугольник без особых точек будем называть ординарным, иначе - особенным.
Структурным графом выпуклого многоугольника будем называть граф, вершинами которого служат вершины и точки пересечения диагоналей исходного многоугольника, а ребрами - отрезки диагоналей и стороны исходного многоугольника.
Дуальный граф - граф геометрически двойственный структурному (вершины - грани плоской укладки структурного графа, две вершины смежны, если соответствующие грани имеют общую сторону).
Сопровождающий граф - дуальный граф без вершины, соответствующей внешней грани.
Будем называть два выпуклых многоугольника изотопными, если изоморфны их структурные графы.
В задаче ММ104 было введено понятие изоморфизма многоугольников. Изоморфными назывались многоугольники, сопровождающие графы которых изоморфны. Можно доказать, что два выпуклых многоугольника изоморфны тогда и только тогда, когда они изотопны. Мы не стали предлагать это утверждение в качестве марафонской задачи. Желающие убедиться в его справедливости могут сделать это самостоятельно (или с помощью книжек: см., например, А.А.Зыков. Основы теории графов).
Пусть n>5. Характеристическим вектором n-угольника будем называть набор
, где
- число полюсов порядка k.
Два многоугольника будем называть изополярными, если равны их характеристические векторы.
Вектором граней многоугольника будем называть набор
, где
- количество элементарных k-угольников.
Два многоугольника будем называть однотипными, если равны их векторы граней.
===============================================================Задача ММ121 является прямым продолжением задачи ММ104.
Оценка за решение задачи ММ121 будет учитываться дважды в основном Марафоне и в тематическом конкурсе.
Решения принимаются, по крайней мере, до
11.09.10.
ММ121 (КГ-6) (8 баллов)
1. На сколько классов однотипных семиугольников разбиваются выпуклые семиугольники?
2. На сколько классов изотопных семиугольников разбиваются выпуклые семиугольники?
================Задача ММ122 является прямым продолжением задачи ММ57.
Оценка за решение задачи ММ122 будет учитываться дважды в основном Марафоне и в тематическом конкурсе.
Решения принимаются, по крайней мере, до
14.09.10.
ММ122 (КГ-7) (4 балла)
1. Найти формулу для выражения числа вершин структурного графа с данным характеристическим вектором.
2. Найти формулу для выражения числа элементарных многоугольников исходного многоугольника с данным характеристическим вектором.
================Решения принимаются, по крайней мере, до
17.09.10.
ММ123 (5 баллов)
Квадратная монета со стороной 1 см бросается случайным образом на лист бумаги, разлинованный квадратными клетками со стороной 2 см. Какая вероятность того, что монета попадёт целиком в клетку?
================Решения принимаются, по крайней мере, до
20.09.10.
ММ124 (4 балла)
Пусть
- сумма n первых простых чисел. Доказать, что
является простым тогда и только тогда, когда существует такое простое число q, что
кратно
.
================Оценка за решение задачи ММ125 будет учитываться дважды в основном Марафоне и в тематическом конкурсе.
Решения принимаются, по крайней мере, до
23.09.10.
ММ125 (КГ-8) (4 балла)
Верно ли, что группа автоморфизмов структурного графа любого n-угольника изоморфна подгруппе группы диэдра n-й степени?
================Решения принимаются, по крайней мере, до
26.09.10.
ММ126 (4 балла)
Есть 8 шаров, среди которых 6 заряжены нейтрально, один - положительно и один - отрицательно. Есть прибор, который, будучи поднесённым к группе шаров, покажет их общий заряд (он покажет 0 и если в группе нет ни одного заряженного шара, и если они там оба).
За какое наименьшее число измерений можно найти положительный и отрицательный шары в группе?
================Оценка за решение задачи ММ127 будет учитываться дважды в основном Марафоне и в тематическом конкурсе.
Решения принимаются, по крайней мере, до
30.09.10.
ММ127 (КГ-9) (12 баллов)
Существуют ли однотипные, но не изополярные многоугольники?
================Оценка за решение задачи ММ128 будет учитываться дважды в основном Марафоне и в тематическом конкурсе.
Решения принимаются, по крайней мере, до
12.10.10.
ММ128 (КГ-10) (20 баллов)
На сколько классов изополярных восьмиугольников разбиваются выпуклые восьмиугольники?
================Решения присылать на val@dxdy.ru, intelmath@narod.ru или в "Личные сообщения" на форуме.