x^y=y^x (розв'язано)

[Новак]

Задача Е(Э)йлера (розв'язана на олімпіаді / решена на олимпиаде)

В оригинале на украинском:

Знайдіть всі раціональні невід’ємні числа, що задовольняють рівнянню: x^y=y^x

Перевод на русский:

Найдите все рациональные положительные числа, удовлетворяющие уравнению: x^y=y^x

xєQ, yєQ, x<>y

[MagTux]

Ты забыл добавить, что X<>Y
Показать скрытый текст

Для натуральных это 2 и 4

[семеныч]

 

[Новак]

MagTux, верно, но это всего лишь частный случай. Подсказка. По условию задачи нужно найти такие выражение для X и для Y, выраженные через целые числа (покопайтесь в свойствах рациональных), которые опишут все возможные положительные рациональные числа, удовлетворяющие уравнению.

[MagTux]

Согласен. Нашёл решение этой задачи в интернете. Это олимпиадная задача.

P.S. Естественно я пас. Я знаю решение.

[Новак]

...Интересно, можно ли рациональное выразить через другое рациональное...

[MagTux]

...Интересно, можно ли рациональное выразить через другое рациональное...

Это вопрос или подсказка?

[Новак]

подсказка...
с решением:
Показать скрытый текст

x, y є Q={m/n | m є Z, n є N}=>
(x<>y), x=m1/n1, y=m2/n2 =>
x=m1/n1= (m1/n1)*(n2/m2)*(m2/n2)=q*y, q=(m1/n1)*(n2/m2), m1,m2єZ, m2<>0, n1,n2єN =>
x=qy -> x^y=y^x =>
(qy)^y=y^qy => q=y^q-1 => y=q^1/(q-1), x=q^q/(q-1) =>
k=1/(1-q), q<>1 => q=(k+1)/k, k<>0 =>
x=((k+1)/k)^k+1, y=((k+1)/k)^k, kєZ, k<>0, k<>-1.

[MagTux]

Мне так понятнее

И кстати в конце твоего решения k не обязательно целое, но тогда k>0 или k<-1.

[iPhonograph]

Двое рассказали решение, и у обоих оно неполное 
Вот например Magtux выразил оба искомых рациональных числа x,y через третье рациональное число n
Однако очевидно, что не всякое рациональное n даст решение.

[MagTux]

Например какое? [n>0 или n<-1]

[iPhonograph]

например, при n=1/2 не получится рациональных x,y

[Um_nik]

например, при n=1/2 не получится рациональных x,y

По-моему, под буквой n подразумевается целое число. Или я не прав?

[iPhonograph]

k было произвольным рациональным положительным числом
n определялось как 1/(k-1), поэтому тоже может быть произвольным положительным рациональным числом (и даже немного отрицательным)
Про то, что n целое, мактух не говорил

[MagTux]

Да, действительно рациональные не получаются.
Тогда всё-таки целые.

А моё решение годится для всех вещественных x и y.