Точки на тетрадном листе

[MagTux]

Можно ли на тетрадном листе в клетку выбрать пять узлов (точек пересечения линий клеток) так, чтобы отрезки, которые соединяют эти узлы, не проходили через другие узлы листа?

[Um_nik]

Дай догадаюсь, нужно с доказательством)))

Я думаю, что нельзя, но доказательство еще не придумал.

[MagTux]

Думай )))

[Um_nik]

Придумал:
Отрезок АВ не будет проходить через узлы в том и только в том случае, если (х1-х2) и (у1-у2) - взаимно простые числа, где (х1;у1) - координаты точки А, (х2;у2) - координаты точки В.
Первую точку поставим в точку (0;0), остальные четыре точки соответственно в точки (х1;у1), (х2;у2), (х3;у3) и (х4;у4).
Получаем десять пар чисел, которые должны быть простыми:
х1 у1
х2 у2
х3 у3
х4 у4
х1-х2 у1-у2
х1-х3 у1-у3
х1-х4 у1-у4
х2-х3 у2-у3
х2-х4 у2-у4
х3-х4 у3-у4
Чтобы числа были взаимно простыми необходимо, чтобы хотя бы одно из чисел было нечетным. Существует всего 3 варианта такого распределения:
НН ЧН НЧ
Соответственно, в одной из первых 4 пар хотя бы одна из этих комбинаций повторится по меньшей мере 2 раза. А это значит, что по крайней мере в одной паре из 6 последующих оба числа будут четными, т.е. не будут взаимно простыми.
Получаем, что такое расположение точек невозможно.

[MagTux]

Отрезок АВ не будет проходить через узлы в том и только в том случае, если (х1-х2) и (у1-у2) - взаимно простые числа, где (х1;у1) - координаты точки А, (х2;у2) - координаты точки В.

Не совсем понял это утверждение. Поясни.

[Um_nik]

Приведу пример.
Координаты точки А - (3;4), координаты точки В - (7;10). Отрезок, соединяющий эти точки, будет проходить через узел, так как 7-3=4 и 10-4=6 - числа не взаимно простые. А если бы ордината точки А была бы 3, то отрезок не проходил бы через узел, т.к. 7-3=4 и 10-3=7 - числа взаимно простые

[MagTux]

Приведу пример.

Перефразирую:
Дан отрезок АВ. (х1;у1) - координаты точки А, (х2;у2) - координаты точки В.
(х1-х2) и (у1-у2) - взаимно простые числа.
Доказать, что отрезок AB не проходит через узлы клеток.

Т.е. типа я не верю. Есть теоремы, подтверждающие это?

[MagTux]

Я уже понял. Просто ты так запутал.
Начал со взаимнопростых, а закончил тем, что достаточно было доказать равенство чётностей координат двух узлов.
Если упростить твоё доказательство, то получится так:

Все узлы листа имеют целочисленные координаты.
Существует четыре группы чётности координат узлов:
1) (чет, чет)
2) (чет, нечет)
3) (нечет, чет)
4) (нечет, нечет)
Как минимум два узла из пяти имеют одинаковую чётность координат.
Пусть (x1, y1) и (x2, y2) - два узла с одинаковой чётностью координат. Середина отрезка, соединяющего эти два узла, имеет координаты ([(x1+x2)/ 2], [(y1+y2)/ 2]), которые являются целыми числами в силу одинаковой чётности x1 и x2, y1 и y2. Таким образом, середина этого отрезка лежит в узле сетки.

[Um_nik]

Теорему, естественно, не знаю. Но доказать могу.
Построим прямоугольник ABCD, в котором разности координат точек А и С (да, понять можно двояко, но, я думаю, все поймут правильно и придираться не будут) - взаимно простые числа. Это значит, что длина и ширина этого прямоугольника - взаимно простые числа. Предположим, что на диагонали АС нашлась такая точка Е, что в прямоугольнике AFEG AF и FE - отрезки с длиной, выраженной целым числом. Углы BAC и FAE совпадают (по построению), углы ABC и AFE - прямые (как углы прямоугольника). Получаем, что треугольники ABC и AFE - подобные. Соответственно, AB/AF=BC/FE=m/n (m/n - несократимая дробь, m, n - натуральные числа, m>n). Получаем, что АВ и ВС делятся на m, причем m>=2, что противоречит условию о том, что они взаимно простые.

Ты бы так сразу и написал: докажи. А то "не понял"...

[Um_nik]

MagTux, я в восьмом классе учусь, поэтому не знаю, как найти координаты середины отрезка по его концам. Чем больше знаешь, тем проще решение))

[Um_nik]

Правильное решение хоть? Если правильное, то приведи свое (если оно отличается, конечно)

[MagTux]

Решение правильное и я его уже написал )))

[Um_nik]

Я молодец)