Прогрессии

[Nattaniel]

Сложная задача на прогрессии. Есть геометрическая прогрессия, могут ли любых 4 члена этой прогрессии образовывать арифметическую. (Кроме тривиальных случаев, когда знаменатель равен +-1, 0). Ответ я знаю, но нужны док-ва.

[Redirect]

Любые 4 ( не подряд ) - я бы сказал да, но как-то сомневаюсь ))

[Um_nik]

А мне кажется, что если разность арифметической прогрессии не равна 0, то это невозможно.

[iPhonograph]

надо сначала решить задачу для 3 чисел, дальше уже очевидно

[Nattaniel]

ну для трёх чисел - возможно, а вот для четырёх, нет.

[MagTux]

Могу начать

Пусть а, аз^б, аз^в, аз^г - члены геометрической прогрессии со знаменателем з, которые образуют арифметическую прогрессию с шагом ш.

ш=аз^б-а
ш=(аз^в-а)/2
ш=(аз^г-а)/3

аз^б-а=(аз^в-а)/2
2з^б-з^в=1 [если это уравнение имеет целочисленные решения, то 3 члена прогрессии составляют арифметическую]

аз^б-а=(аз^г-а)/3
3з^б-з^г=2 [если это уравнение в системе с предыдущим имеет целочисленные решения, то 4 члена прогрессии составляют арифметическую]

Что делать с этим дальше, я не знаю. Это диофантовы уравнения, с решением которых я не знаком.

[General]

Я бы пошёл от арифметической к геометрической:
a, a+d, a+2d - арифметическая
(a+d)² = a(a+2d) - свойство геометрической

Отсюда d=0

[iPhonograph]

Генерал, а всегда ли члены геометрической прогрессии будут монотонной последовательностью? 

[iPhonograph]

насчёт "очевидно" я ошибся
не знаю как решать для 4 чисел

[General]

Так монотонность я и не использую, просто основное свойство геометрической прогрессии, которое верно для любого знаменателя

[General]

Аа, так имеется в виду, что они могут быть не последовательными?!

Что значит "образовывать арифметическую прогрессию"? Что существует арифметическая прогрессия, среди членов которой будут эти 4 числа, или что разности эти 4 числа являются 4мя последовательными членами арифметической прогрессии?

[Um_nik]

Насколько я понял, в геометрической - любые, в арифметической - последовательные.

[General]

А сама геометрическая прогрессия - она конечна или бесконечна?

[Um_nik]

Я думаю, конечные, но конец не определен. То есть бесконечность использовать нельзя.

[General]

Генерал, а всегда ли члены геометрической прогрессии будут монотонной последовательностью? 

Аа, намёк понял

К тому, что может быть
(a)² = (a+d)(a+2d)
и
(a+2d)² = a(a+d) - свойство геометрической

Ну если решать в формулировке "бесконечная Г.П." и "4 последовательных члена А.П.", то:

Пусть 4 члена Г.П. формируют А.П. a₁, a₂, a₃, a₄. рассмотрим 4 числа a₁, a₂, a₃, a₅. Тогда для a₅ существует всего 2 различных значения (или допускается, что некоторые из чисел а совпадают? Ладно, тогда 5 различных значений). В любом случае, из-за ограниченного количества возможных значения для членов Г.П, её знаменатель 0, 1 или -1