Без калькулятора

[Илья]

Определить какое число больше:
2,25^3,375 или 3,375^2,25

[T-Mon]

Показать скрытый текст

2,25^3,375 ? 3,375^2,25
(1.5^2)^3,375 ? (1.5^3)^2,25
1.5^6,75 = 1.5^6,75

[Um_nik]

Элементарщина. Показать скрытый текст

Они равны

[Um_nik]

Тимон,

[T-Mon]

 

[Илья]

Элементарщина.

А такая:
найти все рациональные a и b для которых выполняется равенство a^b=b^a.

[Redirect]

a=b

[T-Mon]

a=b

И это без калькулятора? Афигеть! 

[Илья]

А если разные?

[Noncommalg]

Элементарщина.

А такая:
найти все рациональные a и b для которых выполняется равенство a^b=b^a.

Интересно, как это решается без матана.

Я так понимаю, что Вы подразумеваете школьное решение.

[General]

Все-не-все, но если применить аналогичный подход, получим:
пусть a<b, , для рационального c>1 a=cⁿ, b=c^m.
Тогда из равенства a^b=b^a следует

mcⁿ=nc^m

Значит c^m-n=m/n

Взяв m=n+1, получим c=(n+1)/n

При n=1 будет равенство 2⁴=4², при n=2 - вышеприведёное, ну и дальше будут получаться.

[Илья]

Ну да, как-то так.
На n  есть ограничения?

[General]

Нет, любое натуральное. А вот я прикинул, что m обязательно должно быть равно n+1, иначе c не будет рациональным.

просто единственен ли сам метод построения подобных чисел, или есть ещё какой-то принципиально иной подход?..

[buka]

Нет, любое натуральное. А вот я прикинул, что m обязательно должно быть равно n+1, иначе c не будет рациональным.

просто единственен ли сам метод построения подобных чисел, или есть ещё какой-то принципиально иной подход?..

n=2, m=3, m-n=1 -> n=4,m=6,m-n=2....

[General]

да-да, конечно же, только если m и n взаимно просты.