Земной шар и муха

[buka]

А теперь задачу немного усложним.
Имеем ту же верёвку длиной на 1 м больше длины окружности земли.
Но она не равномерно распределена вокруг Земли, а может плотно прилегать к какой-то части поверхности...
Вопрос - на какую максимальную высоту над Землей можно оттянуть эту верёвку?

[семеныч]

если толщиной веревки пренебречь то на 0.5 метра

[buka]

если толщиной веревки пренебречь то на 0.5 метра

Больше!

[T-Mon]

Всё зависит от того как натянуть верёвку. Если с равномерным зазором по всей длине, тогда зазор будет 16 см (тут расчёты уже приводились).
А если нитку оттянуть за одну точку, то зазор будет более 100 м.

[buka]

Всё зависит от того как натянуть верёвку. Если с равномерным зазором по всей длине, тогда зазор будет 16 см (тут расчёты уже приводились).
А если нитку оттянуть за одну точку, то зазор будет более 100 м.

Да! Причём чем больше радиус, тем больше зазор

[T-Mon]

Для варианта с оттягиванием нерастягивающейся верёвки имеем:



x=СН - искомая высота зазора.

BH²=OH²-OB²
BH²=(R+x)²-R²=2Rx+x²

BH=BC+1/2, BC=Rф -> BH=Rф+1/2
BH=R*tg(ф)

Имеем систему, из которой надо найти x. Как?
Или я вообще в дебри зашёл?

[buka]

Спасибо, Т-Мон, нет, Вы не вошли в дебри.
Я вообще-то предполагал просто качественную оценку, Вы же хотите более точную.
Прямо "в лоб" имхо - не выйдет, поэтому я попытаюсь дать нижнюю оценку х.
Рисовать я не умею поэтому буду опираться на Ваш рисунок, мысленно добавив в него точку К - пересечение прямой АВ с прямой ОН.
Для общего вида разницу (1м) заменим на р.
1. Очевидно, дуга ВС > ВК -> ВН > ВК + р/2, поэтому, заменив это неравенство на равенство, мы ошибёмся только в меньшую сторону.
2. Мы сначала будем определять не х, а НК = НС + х, а затем попытаемся определить НС.
3. Имеем пропорцию: ВН/ОВ = КН/ВК (из подобия тр-ков).
4. ВК < ВН -> ВН/ОВ > КН/ВН -> ВН^2 > ОВ*КН
5. ВН^2 = ВК^2 + КН^2 = (ВН-р/2)^2 + КН^2 = ВН^2 -р*ВН + (р/2)^2 + КН^2
6. (р/2)^2 можно пренебречь, ВН^2 - "уходит", имеем: КН^2 = р*ВН > ВН = (КН^2)/р
7. Из 4. и 6. имеем: КН^4 > ОВ*КН*р^2 -> КН > (ОВ*р^2)^(1/3)
8. То есть мы получаем КН через радиус (ОВ) и разницу (р)
9. Для р=1 и ОВ = 6.4*10^6 имеем КН =~ 186
10.Далее определяем КВ и ВН и угол Ф -> оттуда СК и вычитаем его из КН 

[T-Mon]

Спасибо. Разберусь, отпишусь )))

[buka]

Спасибо. Разберусь, отпишусь )))

Ура! Нашёл ещё одно упрощение!
Рассмотрим угол АВС. Он опирается на дугу АС, а АС равна половине дуги АВ.
То есть угол АВС равен половине угла АВН и ВС - биссектриса.
KC/KH = tg(ф/2)/tg(ф) = tg(ф/2)/(2tg(ф/2)/(1-tg²(ф))) = (1-tg²(ф))/2 < 1/2
То есть, КС < КН/2 и х > КН/2 > 186/2 = 93м
 

[seamew]

была какая-то теорема о хордах и прямоугольных треугольниках, кажется...

[buka]

Я прикинул и оценил поправочный коэффициент в 4^1/3 =~ 1.6 и тогда х =~ 150м
Откуда я получил такую поправку?
Дело в том, что я вместо дуги ВС использоал катет ВК.
Но ВС-ВК > ВН-ВС, т.е. ВН-ВК > 2(ВН-ВС) = 2р.
Отсюда неравенство 7. будет: КН^4 > ОВ*КН*(2р)^2 -> КН > (ОВ*4*р^2)^(1/3)

[seamew]

я не понимаю, откуда берется 100 метров, если мы всего 1 прибавили к длине окружности... откуда что берется??? талия у земли появилась?

[buka]

В этом и вся фишка. На первый взгляд кажется - не может такого быть...
Но чтобы убедиться, что может - предлагаю более простую задачу:
Имеется куб со стороной 10000 км, т.е. периметр грани составляет 40000 км (40 000 000 м).
Имеем верёвку длиной 40 000 001 м. Как высоко её можно оттянуть?
Вы получите где-то более 2200 м...
Ещё более потрясает, что если длина верёвки превышает периметр квадрата не на 1м, а на 1мм, т.е. в 1000 раз меньше, всё равно её можно оттянуть где-то более чем на 70м.

[T-Mon]

Рассмотрим угол АВС. Он опирается на дугу АС, а АС равна половине дуги АВ.
То есть угол АВС равен половине угла АВН и ВС - биссектриса.

Я к этому выводу пришёл немного иным путём, но твоего пути я немного не понял.
Можешь пояснить?
ABC опирается на АС, АС=AB/2 - это понятно
Как из этого сделал вывод, что BC - биссектриса?

[seamew]

посчитала... действительно больше 2 км... я в шоке, ну откуда такая длина берется?? представить не могу