Как бы геометрия, а на самом деле - ТЧ

[Sirion]

Предыдущую мою задачу уже практически решили, поэтому выложу новую. Она будет состоять из двух пунктов.

Сколько точек можно расположить на плоскости так, чтобы расстояние между любой парой точек выражалось целым числом? Очевидно, бесконечно много: например, множество целых точек оси ОХ удовлетворяет этому условию. Поэтому введём ограничение: все точки не должны лежать на одной прямой. Верно ли, что мы можем взять множество из сколь угодно большого числа точек, удовлетворяющее данному условию?

Эта задача естественно обобщается на пространство. Соответственно, ограничение будет звучать так: не все точки должны лежать на одной плоскости.

Дерзайте, сильные умом   

[VVV]

     Теорема Пифагора имеет бесконечное число попарно непропорциональных решений в целых числах. Возьмем n таких решений. После возьмем их пропорциональные аналоги с одинаковой первой компонентой. Возьмем соответствующие точки на прямой и одну не на прямой.
           Задача для  Sirion'a (лекарство от унылости задач).
     Докажите аналог теоремы Хелли для трехмерной целочисленной решетки.  Для целочисленной решетки Z^d (d=3) найдите такое наименьшее число k(d), что верно следующее утверждение.  Для любого  конечного семейства выпуклых подмножеств  Z^d, такого что пересечение любых k(d) из них непусто, следует, что пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто. Множество S из Z^d назывется выпуклым, если существует  такое выпуклое множество T из R^d, что S является пересечением T и Z^d.

[Sirion]

Верно. А случай трёх измерений?

Действительно, задача забавная и имеет все шансы развеять мою скуку. Пока могу лишь с уверенностью утверждать, что k>7.