Страниц: [1] 2
  Печать  
Автор Тема: XV тур Математического марафона  (Прочитано 21847 раз)
0 Пользователей и 1 Гость смотрят эту тему.
General
Умник
****
Offline Offline

Сообщений: 681

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 47
-вас поблагодарили: 162



Просмотр профиля
: Май 29, 2011, 14:26:32 �

XV тур Математического марафона

Владимир Лецко начинает новый тур //текст доступен после регистрации//. От меня в этот раз в нём всего одна задача, так что буду осуществлять в основном информационную поддержку.

Задачи очень интересные, за короткой формулировкой открывается широкий простор для мысли. Есть, чем заняться на каникулах Smiley

Решения можно присылать на val@dxdy.ru (в этом случае его сразу увидят оба ведущих), на val-etc@yandex.ru или в ЛС.

Не забывайте высылать вместе с решениями свои эстетические оценки задач.

==================================

Решения принимаются до 10.09.11

ММ141 (3 балла)

Существуют ли натуральные числа n такие, что ?

- сумма натуральных делителей числа n.

==================================

Решения принимаются до 14.09.11

ММ142 (4 балла)

Все 80 натуральных делителей натурального числа n расположили в порядке возрастания. Оказалось, делители с первого по четвертый образуют геометрическую прогрессию, делители с четвертого по седьмой - арифметическую прогрессию, а восьмой делитель меньше 200.
Найти n.

==================================

В Тематическом конкурсе тура - вновь комбинаторная геометрия
Более того, во всех тематических задачах, кроме КГ-11, речь вновь пойдет о многоугольниках. Но на этот раз - не обязательно выпуклых.

==================================

Решения принимаются до 18.09.11

ММ143 (КГ-11) (4 балла)

Девять из десяти ребер пятиугольной пирамиды имеют длину 1. В каком диапазоне может изменяться длина 10-го ребра?

==================================

Решения принимаются до 23.09.11

ММ144 (5 баллаов)

На поле e4 стоит чёрный король. Первый игрок ставит на любую клетку доски, не находящуюся под боем чёрного короля, белых королей (по одному за ход). Второй игрок делает (правильный) ход чёрным королём. Игра заканчивается, когда у чёрного короля не будет ходов. Каково минимальное количество ходов, за которое первый игрок может достичь цели?

==================================

В задачах КГ-12 - КГ-15 будем придерживаться следующих определений и обозначений:

Под многоугольником мы будем понимать плоскую замкнутую несамопересекающуюся ломаную, никакие три последовательные вершины которой не коллинеарны. Число сторон исходного многоугольника обозначим через n.
Назовем сторону многоугольника свободной, если продолжение этой стороны за каждую ограничивающую ее вершину в некоторой окрестности этой вершины лежит вне многоугольника.
Назовем сторону полусвободной, если вне многоугольника лежит продолжение стороны ровно за одну из двух ограничивающих ее вершин. Сторону, не являющуюся ни свободной, ни полусвободной, будем называть зажатой. Например, сторона AB (рис. 1), является свободной, сторона BC - полусвободной, а сторона EF - зажатой. 
Диагональ, все точки которой принадлежат многоугольнику, будем называть внутренней. Диагональ, не имеющую с многоугольником общих точек, за исключением вершин, которые она соединяет, будем называть внешней. Например, диагональ BF (рис. 1) - внутренняя, а диагональ BD - внешняя (диагональ BE  не является ни внешней, ни внутренней).

//текст доступен после регистрации//

 
==================================

Решения принимаются до 27.09.11

ММ145 (КГ12) (3 балла)

Сколько внешних диагоналей может иметь n-угольгик?

==================================

Решения принимаются до 1.10.11

ММ146 (4 балла)

При каких D существуют графы диаметра D, у которых сумма квадратов степеней вершин равна D2?

==================================

Решения принимаются до 7.10.11

ММ147 (КГ13) (6 баллов)

Какое наименьшее число внутренних диагоналей может иметь n-угольгик, у которого ровно один угол больше развернутого?

==================================

Решения принимаются до 15.10.11

ММ148 (КГ14) (8 баллов)

Сколько внутренних диагоналей может иметь n-угольгик?

==================================

Решения принимаются до 22.10.11

ММ149 (8 баллов).

При каком наименьшем n в группе перестановок Sn существует подгруппа порядка 253? Привести пример такой подгруппы.

Примечание: Задачу можно решить на бумажке, без компьютерного перебора

==================================

Решения принимаются до 31.10.11

ММ150 (КГ15) (12 баллов)

Каждому n-угольнику поставим в соответствие ожерелье из n бусин белого, зеленого и красного цветов следующим образом: свободой стороне соответствует белая бусина; полусвободной - зеленая; зажатой - красная.
Два n-угольника назовем эквивалентными, если им соответствуют одинаковые ожерелья (ожерелье не меняется при поворотах и переворачивании). На сколько классов эквивалентности разобьются 20-угольники?

Эти пользователи сказали вам СПАСИБО :

rip86

За это сообщение 1 пользователь сказал спасибо!
Записан

5 Головоломок | //текст доступен после регистрации//
Sirion
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1095

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 137
-вас поблагодарили: 276



Просмотр профиля Email
Ответ #1 : Май 29, 2011, 17:19:25 �

- сумма натуральных делителей числа n.
А напомните-ка мне, число n является делителем числа n?

Существуют ли натуральные числа n такие, что ?
Как насчёт n=1?
Записан

sirion=irion+srion+rion+siion+iion+sion+ion+siron+iron+sron+ron+sion+ion+son+on+sirin+
+irin+srin+rin+siin+iin+sin+in+sirn+irn+srn+rn+sin+in+sn+n+sirio+irio+srio+rio+siio+
+iio+sio+io+siro+iro+sro+ro+sio+io+so+o+siri+iri+sri+ri+sii+ii+si+i+sir+ir+sr+r+si+i+s
zhekas
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1035

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 34
-вас поблагодарили: 485



Просмотр профиля Email
Ответ #2 : Май 29, 2011, 17:56:58 �

- сумма натуральных делителей числа n.

А напомните-ка мне, число n является делителем числа n?
включая 1 и n

Существуют ли натуральные числа n такие, что ?
Как насчёт n=1?

P.S. Я так полагаю, что данные задачи не для всеобщего обсуждения (во всяком случае на данном этапе), а для индивидуального решения.
Записан
Sirion
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1095

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 137
-вас поблагодарили: 276



Просмотр профиля Email
Ответ #3 : Май 29, 2011, 18:01:42 �

Неясность в условии - достаточный повод для открытого обсуждения. Впрочем, задачка в любом случае лажовая.
Записан

sirion=irion+srion+rion+siion+iion+sion+ion+siron+iron+sron+ron+sion+ion+son+on+sirin+
+irin+srin+rin+siin+iin+sin+in+sirn+irn+srn+rn+sin+in+sn+n+sirio+irio+srio+rio+siio+
+iio+sio+io+siro+iro+sro+ro+sio+io+so+o+siri+iri+sri+ri+sii+ii+si+i+sir+ir+sr+r+si+i+s
iPhonograph
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 2100

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 561
-вас поблагодарили: 1314

Дискоед


Просмотр профиля
Ответ #4 : Май 29, 2011, 19:58:34 �

формально n=1 полностью отвечает на вопрос условия задачи Smiley
авторы забыли про тривиальный случай
Записан

"Было бы величайшей ошибкой думать" (с) В.И.Ленин, Полн. cобр. cоч., т.34, стр.375
General
Умник
****
Offline Offline

Сообщений: 681

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 47
-вас поблагодарили: 162



Просмотр профиля
Ответ #5 : Май 29, 2011, 20:26:24 �

Sirion, да, в делители n в определении этой функции включают и само число n

Нахождение неточностей в условии или непредусмотренных путей решения премируется дополнительными баллами Smiley
Записан

5 Головоломок | //текст доступен после регистрации//
Sirion
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1095

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 137
-вас поблагодарили: 276



Просмотр профиля Email
Ответ #6 : Май 29, 2011, 21:11:31 �

Нахождение неточностей в условии или непредусмотренных путей решения премируется дополнительными баллами Smiley
Тогда запишите на мой счёт) задачки забавные. Решил несколько первых, сейчас зашёл с конца и мучаю последнюю.
Записан

sirion=irion+srion+rion+siion+iion+sion+ion+siron+iron+sron+ron+sion+ion+son+on+sirin+
+irin+srin+rin+siin+iin+sin+in+sirn+irn+srn+rn+sin+in+sn+n+sirio+irio+srio+rio+siio+
+iio+sio+io+siro+iro+sro+ro+sio+io+so+o+siri+iri+sri+ri+sii+ii+si+i+sir+ir+sr+r+si+i+s
General
Умник
****
Offline Offline

Сообщений: 681

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 47
-вас поблагодарили: 162



Просмотр профиля
Ответ #7 : Май 30, 2011, 22:01:32 �

Да-да, конечно же Smiley

В оригинальной задумке в ММ141 требуется найти число n>1.
Записан

5 Головоломок | //текст доступен после регистрации//
Sirion
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1095

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 137
-вас поблагодарили: 276



Просмотр профиля Email
Ответ #8 : Май 31, 2011, 13:09:52 �

А за что последней дали так много баллов? Она же довольно тупо сводится к <не скажу какой известной задаче>  Huh?
Записан

sirion=irion+srion+rion+siion+iion+sion+ion+siron+iron+sron+ron+sion+ion+son+on+sirin+
+irin+srin+rin+siin+iin+sin+in+sirn+irn+srn+rn+sin+in+sn+n+sirio+irio+srio+rio+siio+
+iio+sio+io+siro+iro+sro+ro+sio+io+so+o+siri+iri+sri+ri+sii+ii+si+i+sir+ir+sr+r+si+i+s
General
Умник
****
Offline Offline

Сообщений: 681

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 47
-вас поблагодарили: 162



Просмотр профиля
Ответ #9 : Июнь 02, 2011, 08:00:50 �

А если находится красивое решение, не учтённое автором задачи, то это премируется дополнительными баллами Smiley
Записан

5 Головоломок | //текст доступен после регистрации//
Sirion
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1095

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 137
-вас поблагодарили: 276



Просмотр профиля Email
Ответ #10 : Июнь 02, 2011, 23:28:54 �

Четвёртая гадкая какая-то =( Чувство, что решение сводится к громоздкому перебору.
Записан

sirion=irion+srion+rion+siion+iion+sion+ion+siron+iron+sron+ron+sion+ion+son+on+sirin+
+irin+srin+rin+siin+iin+sin+in+sirn+irn+srn+rn+sin+in+sn+n+sirio+irio+srio+rio+siio+
+iio+sio+io+siro+iro+sro+ro+sio+io+so+o+siri+iri+sri+ri+sii+ii+si+i+sir+ir+sr+r+si+i+s
Sirion
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1095

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 137
-вас поблагодарили: 276



Просмотр профиля Email
Ответ #11 : Июнь 21, 2011, 01:00:08 �

Апну, пожалуй, а то далеко за условиями лазить.
Записан

sirion=irion+srion+rion+siion+iion+sion+ion+siron+iron+sron+ron+sion+ion+son+on+sirin+
+irin+srin+rin+siin+iin+sin+in+sirn+irn+srn+rn+sin+in+sn+n+sirio+irio+srio+rio+siio+
+iio+sio+io+siro+iro+sro+ro+sio+io+so+o+siri+iri+sri+ri+sii+ii+si+i+sir+ir+sr+r+si+i+s
Лев
Из мудрейших мудрейший
*****
Offline Offline

Сообщений: 2907

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1229
-вас поблагодарили: 1162


Искренне Ваш...


Просмотр профиля Email
Ответ #12 : Июнь 21, 2011, 09:16:15 �

Апну, пожалуй, а то далеко за условиями лазить.

Могу приколоть ее кнопочкой, пока актуально. Надо?

Эти пользователи сказали вам СПАСИБО :

Sirion

За это сообщение 1 пользователь сказал спасибо!
Записан

В действительности все не так, как на самом деле
Sirion
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1095

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 137
-вас поблагодарили: 276



Просмотр профиля Email
Ответ #13 : Июнь 21, 2011, 11:10:30 �

Апну, пожалуй, а то далеко за условиями лазить.

Могу приколоть ее кнопочкой, пока актуально. Надо?
А ведь не повредило бы, ня.
Записан

sirion=irion+srion+rion+siion+iion+sion+ion+siron+iron+sron+ron+sion+ion+son+on+sirin+
+irin+srin+rin+siin+iin+sin+in+sirn+irn+srn+rn+sin+in+sn+n+sirio+irio+srio+rio+siio+
+iio+sio+io+siro+iro+sro+ro+sio+io+so+o+siri+iri+sri+ri+sii+ii+si+i+sir+ir+sr+r+si+i+s
soxjke
Новенький
*
Offline Offline

Сообщений: 10

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 0
-вас поблагодарили: 1


Просмотр профиля
Ответ #14 : Июль 26, 2011, 14:32:36 �

Что такое "свободная", "полусвободная", "зажатая" сторона?
Ответ был среди задач, вопрос снимается =)
Последнее редактирование: Июль 26, 2011, 14:36:36 от soxjke Записан
Страниц: [1] 2
  Печать  
 
Перейти в: