Квадратики.

[Sirion]

На плоскости расположены несколько квадратов. Известно, что пересечение любых двух из них - либо пустое множество, либо также квадрат. Верно ли, что пересечение произвольного набора этих квадратов также будет либо пустым множеством, либо квадратом?

[iPhonograph]

да, доказывается по индукции

[Sirion]

это я знаю) а вот на аккуратно организованную индукцию поглядел бы

[iPhonograph]

если выпуклый многоугольник, являющийся пересечением квадратов - не квадрат, то возможны два случая:
1) в многоугольнике есть взаимно косые стороны (углы между которыми не кратны 90 градусам)
2) в многоугольнике нет взаимно косых сторон, тогда он - прямоугольник

границы многоугольника составлены из границ нескольких исходных квадратов, среди которых выбираем два, стороны которых взаимно косые (случай 1) или которые образуют пару длинных сторон прямоугольника (случай 2)

вот для этих двух выбранных исходных квадратов будет нарушаться условие

[Sirion]

нашли неиндуктивное решение? поздравляю, ня

[kolobok]

Неверно. Множество пересечений пар квадратов дающих квадрат как результат, при сопоставлении дают квадраты лишь в определённых структурах. Есть бесконечное множество решений дающих обратный результат. Пример - берём два квадрата дающих при пересечении квадратик и два других непересекающихся с первыми, но имеющих "квадратик"  не совпадающий с 1м. Т.к. квадратик-результат не совпадает с 1м, то вместе они не могут образовывать квадрат. Любые пары при этом соответствуют условию. (С учётом того, что действия на остатках от пересечений не производятся по условию, либо условие надо менять). Спасибо.

[Sirion]

kolobok, если два квадрата не пересекаются с двумя другими, то пересечение всех четырёх - пустое множество.
Я ещё могу понять, когда такие вещи выдают студенты на парах, у которых из-за динамики диалога не было времени хорошенько подумать. Но на форуме - это как-то уже чересчур...

[kolobok]

Ах, да. Я бегло прочитал, извините. "Верно ли, что пересечение произвольных наборов этих квадратов также будет либо пустым множеством, либо квадратом?". Если бы звучало так, то моё замечание было бы верным.
Простите великодушно!

[kolobok]

Теорема:
Если любые два квадрата на множестве квадратов дают в результате сложения квадрат, или пустое множество, то квадрат получившийся в результате действия на подобном множестве является его частью. Т.е. тоже даёт при пересечении с другими либо квадрат либо пустое множество.

Доказательство:
Полученный квадрат не может дать при пересечении с другими квадратами неквадрат, иначе один из предков квадратов тоже давал бы неквадрат при пересечении (две стороны образующие четырёхугольник принадлежат квадрату предку, а две - квадрату который пересекается с потомком - ), а это противоречит начальному условию.

Из теоремы следует, что любая комбинация квдратов, являющяяся ничем иным как суммой квадратов соответствующих условию задачи будет равна либо квадрату либо пустому множеству.

Простите за писанину. Пришёл прочёл замечание, стало неудобно, поэтому постарался минут на 10.

[Sirion]

в результате пересечения, а не сложения, я полагаю?
да, именно так я решал её сам)

[kolobok]

Да, в результате пересечения)))
Кстати я и сейчас поторопился. Ну жизнь есть жизнь, а на форумах ещё и общаются. "(две стороны образующие четырёхугольник принадлежат квадрату предку, а две - квадрату который пересекается с потомком - )" неверно, есть варианты с двумя сторонами двух предков. Но сути это не меняет. Любая комбинация ведёт к тому же.

[kolobok]

Верно говорят - поспешить других рассмешить. Прошу прощения за небольшое лирическое отступление. На эту тему есть интересный анекдот:
Приезжает в родное село студент. Накрыли стол по-хозяйски сели кушать да о жизни разговаривать. Ну студент и рассказал, как мол здорово в городе, много всего интересного, жизнь крутая, какой он крутой, умный и чё угодно доказать может. Ну отец разозлился и говорит ему - "Видишь на столе курицу?", тот говорит - "Да". - "А можешь доказать что их две?" Тот на понтах говорит -  "да". Отец сразу отвечает "Ну вот ты вторую и ешь, а мы с ёй разберёмся"))))

[Sirion]

=))