Задача купца

[Sirion]

"можно и без логарифма"? я, пожалуй, выражусь немного иначе
логарифм здесь нахер не нужен

единственная причина, по которой, насколько я понимаю, его сюда пытались впихнуть - это смутное, интуитивное представление о том, что прибыль от вложенного золотого растёт экспоненциально
однако в данном случае в последние годы тратится вся прибыль целиком, и экспоненциального роста не происходит
начиная с момента, когда был потрачен первый золотой, всё становится линейно

[moonlight]

Пусть год назад основной капитал был 1.
За год получили прирост p и снимаем некоторую его часть q (0<=q<=1).
Основной капитал после этого будет s=1+p-qp.
Пусть вклад будет лежать ещё n лет и мы высчитали что в лучшем случае за это время можем снять сумму равную nps (это очевидно при n=0,1).
Вместе с этим годом получаем qp+np(1+p-qp)=np(1+p)+qp(1-np).
Если 1-np>0 q=1, если 1-np<0 q=0, если 1-np=0 q не имеет значения, можно принять q=1.
Таким образом если n=[1/p] то за последние n+1 лет получим np(1+p)+p(1-np)=(n+1)p - доказано по индукции.

логарифмов тут нету.

[zhekas]

Пусть u начальный капитал. n общее количество лет. m - количество лет которое, купец не тратил прибыль.

За m - лет капитал станет 1,2^m*u. Соответственно, за каждый последующий год будет тратиться 0,2*1,2^m*u.

Всего потратится f(m)=(n-m)*0,2*1,2^m*u

Итого надо наити точку максимума для функции f(x)=(n-x)*1,2^x

f'(x) = 1,2^x*ln1,2*(n-x) - 1,2^x=1,2^x*((n-x)*ln1,2 - 1)

Откуда Xmax = n- 1/ln1,2

[Smith]

жекас, тоесть ты со всеми согласный..

В общем можно и без логарифма, на всём промежутке разница между 1/x и 1/ln(1+x) не превышает 1

логарифм здесь нахер не нужен

логарифмов тут нету.

зы: 

[iPhonograph]

иногда, чтобы найти максимум функции на целых числах, бывает удобно перейти к действительному аргументу и взять производную
именно это жекас и сделал
точнее, начал делать, но не закончил
вторая часть решения - вычислить функцию на двух ближайших к Xmax целых числах и найти из этих значений наибольшее, которое и будет искомым максимумом
ответ, разумеется, получился бы такой же, как у всех

[kinder]

просто мы с жекасом решали используя математический анализ, а вы логику и индукцию

[moonlight]

Решение через производную годится в том случае если доказать что сначала несколько лет деньги должны не тратиться совсем а потом тратиться все.

[Лев]

Прошу прощения у господ с техническим образованием за разбавление дискуссии подобным лепетом, но исходя из условия, для начала придется "доказать", что купец предложил бы наилучшее решение.

Рассуждая в этом ключе, мы быстро придем к чисто агностическому выводу, что понятия не имеем, через что, простите, решал он сам.

[fortpost]

Прошу прощения у господ с техническим образованием за разбавление дискуссии подобным лепетом, но исходя из условия, для начала придется "доказать", что купец предложил бы наилучшее решение.

Рассуждая в этом ключе, мы быстро придем к чисто агностическому выводу, что понятия не имеем, через что, простите, решал он сам.

Поскольку сия задача вызвала столь оживленную дискуссию, даю первоисточник, где имеется и краткая теоретическая часть. Вам, уважаемый Лев, надеюсь, будет интересно.
Показать скрытый текст

[kinder]

Индукция у С. Семенова это нечто. Понять её было сложнее чем решить задачу

[fortpost]

Индукция у С. Семенова это нечто. Понять её было сложнее чем решить задачу

Так то когда было! Почти 34 года назад! Математика тогда сильно уступала нынешней.